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解：∵​$AD$​为​$∆ABC$​的高，∴​$∠C + ∠CAD = 90°$​
​$ $​又​$∠C = 40°，$​∴​$∠CAD = 50°$​
​$ $​又​$∠DAE = 12°，$​​$∠CAD = ∠DAE + ∠CAE$​
∴​$∠CAE = 38°$​
​$ $​又​$AE$​平分​$∠BAC，$​​$BF $​平分​$∠ABC$​
∴​$∠BAC = 2∠CAE = 76°，$​​$∠CBF = \frac 12∠ABC$​
​$ $​又​$∠ABC + ∠BAC + ∠C = 180°$​
∴​$∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 64°，$​即​$∠CBF = 32°$​
​$ $​又​$∠BF C + ∠C + ∠CBF = 180°$​
∴​$∠BF C = 180° - ∠C - ∠CBF = 108°$​
​$ $​又​$∆GF C$​为直角三角形
∴​$∠FG C = 90°$​或​$∠GF C = 90°。$​分类讨论如下：
​$ ① $​当​$∠FG C = 90°$​时
∵​$∠FG C = ∠CBF + ∠BFG$​
∴​$∠BFG = 90° - ∠CBF = 58°$​
​$ ② $​当​$∠GF C = 90°$​时，
​$∠BFG = ∠BF C - ∠GF C = 18°$​
综上，​$∠BFG $​的度数为​$58°$​或​$18°$​
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