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A
$30^{\circ}$
​$ (1)$​证明：∵​$BE，$​​$CF $​都是​$\triangle ABC$​的高
∴​$∠AF C = ∠AEB = 90°$​
​$ $​即​$∠ABP+∠BAC = 90°，$​​$∠Q CA+∠BAC = 90°$​
∴​$∠ABP = ∠Q CA$​
​$ $​在​$\triangle ABP $​和​$\triangle Q CA$​中
​$\begin {cases}AB = Q C\\∠ABP = ∠Q CA\\BP = CA\end {cases}$​
∴​$\triangle ABP≌\triangle Q CA(S AS)$​
​$ (2)$​解：​$AP\perp AQ，$​证明如下：
​$ $​由​$(1)，$​得​$∠AF C = 90°，$​​$\triangle ABP≌\triangle Q CA$​
∴​$∠BAP = ∠Q$​
∵​$∠Q+∠BAQ = 90°，$​即​$∠BAP+∠BAQ = 90°$​
∴​$∠P AQ = 90°，$​即​$AP\perp AQ$​
$32$
​$ (1)$​证明：∵​$BE\perp CD，$​∴​$∠BEC = ∠FEC = 90°$​
∴​$∠F+∠F CE = 90°$​
∵​$∠BAC = 90°，$​​$∠BAC+∠F AB = 180°$​
∴​$∠F AB = 180°-∠BAC = 90°$​
∴​$∠F+∠F BA = 90°$​
∴​$∠F BA = ∠F CE，$​即​$∠F BA = ∠DCA$​
​$ $​在​$\triangle AF B$​和​$\triangle ADC$​中
​$\begin {cases}∠F AB = ∠DAC\\AB = AC\\∠F BA = ∠DCA\end {cases}$​
∴​$\triangle AF B≌\triangle ADC(AS A)$​
∴​$AF = AD$​
​$ $​又​$AB = AD + BD，$​∴​$AB = AF + BD$​
​$ (2)$​解：​$(1)$​中的结论不成立
​$ $​当点​$D$​在​$AB$​的延长线上时，​$AB = AF - BD$​
​$ $​当点​$D$​在​$AB$​的反向延长线上时，​$AB = BD - AF$​
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