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第12页

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$175^{\circ}$

$100^{\circ}$

$ (1)$证明：∵$DE\perp AB，$∴$∠DEA = ∠DEB = 90°$

∵$M$为$BD$的中点，∴$EM = BM=\frac 12DB$

同理，得$CM = BM = \frac 12DB，$∴$CM = EM$

$ (3)$证明：连接$AM$

由$(1)$得$∠DEA = 90°，$$CM = EM，$且$\triangle DAE≌\triangle CEM$

∴$AE = EM = CM = DE = DM = BM，$$∠DEA = ∠CME = 90°$

∴$\triangle ADE$是等腰直角三角形，$\triangle DEM$是等边三角形

∴$∠DEM = ∠DME = 60°，$∴$∠FEM = 90°-∠DEM = 30°$

∵$AE = EM，$$∠FEM = ∠EAM + ∠EMA$

∴$∠EAM = ∠EMA = 15°$

∴$∠AMC = ∠CME - ∠EMA = 75°$

∵$∠CME = 90°，$$∠DME = 60°$

∴$∠DMC = 90°-∠DME = 30°$

∵$CM = DM = BM，$$∠DMC = ∠MCB + ∠MBC$

∴$∠MCB = ∠MBC = 15°$

∴$∠MDC = ∠MCD = ∠ACB - ∠MCB = 75°$

∴$∠AMC = ∠MCD，$∴$AC = AM$

∵$N$为$CM$的中点，∴$AN\perp CM$

∴$∠ANM = 90°，$即$∠ANM + ∠CME = 180°$

∴$AN// EM$