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证明：​$(1)$​∵​$∠ACB = 90°，$​​$∠A = 30°$​
∴​$∠ABC+∠A = 90°，$​即​$∠ABC = 90°-∠A = 60°$​
又​$BD$​平分​$∠ABC，$​∴​$∠EBD=∠CBD=\frac 12∠ABC = 30°$​
∵​$DE\perp AB，$​∴​$∠DEB=∠ACB = 90°$​
​$ $​又​$BD = BD，$​∴​$\triangle BCD≌\triangle BED(\mathrm {AAS})$​
∴​$BC = BE，$​∴​$\triangle BCE$​是等边三角形
​$(2)$​∵​$\triangle BMN$​是等边三角形，∴​$BM = BN，$​​$∠MBN = 60°.$​
由​$(1)$​得​$∠ABC = 60°，$​​$BE = BC，$​​$\triangle BCE$​是等边三角形，则​$∠BCE = 60°$​
∴​$∠ABC-∠ABM=∠MBN-∠ABM，$​即​$∠MBC=∠NBE$​
∴​$\triangle BCM≌\triangle BEN(S AS)$​
∴​$∠BEN=∠BCE = 60°，$​即​$∠BEN=∠ABC，$​∴​$EN// BC$​
​$(3) DQ = AD + DP，$​证明如下：延长​$BD$​至点​$F，$​使​$DF = DP，$​连接​$FP.$​
由​$(1)$​得​$∠EBD=∠CBD = 30°，$​∴​$∠BDC = 90°-∠CBD = 60°$​
∴​$∠F DP=∠BDC = 60°，$​即​$\triangle P DF $​是等边三角形
∴​$FP = DP = DF，$​​$∠F=∠FP D = 60°$​
又​$DE\perp AB，$​​$∠A = 30°$​
∴​$∠P DQ = 90°-∠A = 60°，$​​$∠A=∠EBD，$​即​$∠F=∠P DQ，$​​$AD = BD$​
又​$∠BPQ = 60°，$​∴​$∠FP D+∠BP C=∠BPQ+∠BP C，$​即​$∠BPF=∠QP D$​
∴​$\triangle PF B≌\triangle P DQ(AS A)，$​∴​$F B = DQ$​
​$ $​又​$F B = BD + DF，$​∴​$DQ = AD + DP$​
$\frac{10}{3}$
解：​$(1) $​设直线​$l_{1}$​的函数表达式为​$y = kx + b$​
由题意，将​$A(6，$​​$0)，$​​$B(0，$​​$8)$​两点分别代入
得​$\begin {cases}6k + b = 0\\b = 8\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k = -\frac 43\\b = 8\end {cases}$​
∴直线​$l_{1}$​的函数表达式为​$y = -\frac 43x + 8$​
​$ (3) $​由​$(1)，$​得直线​$l_{1}$​的函数表达式为​$y = -\frac 43x + 8$​
∴直线​$EF $​的函数表达式为​$y = -\frac 43(x - 3)+8=-\frac 43x + 12$​
​$ $​令​$x = 0，$​得​$y = 12；$​令​$y = 0，$​得​$-\frac 43x + 12 = 0，$​解得​$x = 9$​
∴点​$F $​的坐标为​$(0，$​​$12)，$​点​$E$​的坐标为​$(9，$​​$0)，$​即​$OE = 9，$​​$OF = 12$​
又​$S_{四边形BAEF}=S_{\triangle EFO}-S_{\triangle ABO}$​
∴​$S_{四边形BAEF}=\frac 12×9×12-\frac 12×6×8 = 30$​
​$ (4) $​存在，由​$(2)，$​得​$OA = 6，$​​$OB = 8$​
当​$∠ABP = 90°，$​​$AB = BP $​时，如图①
过点​$P $​作​$PM\perp y$​轴于点​$M，$​易证​$\triangle BMP≌\triangle AOB(\mathrm {AAS})$​
∴​$BM = AO = 6，$​​$PM = BO = 8$​
∴​$OM = OB + BM = 14，$​∴点​$P $​的坐标为​$(8，$​​$14)；$​
当​$∠BAP = 90°，$​​$AB = AP $​时，如图②
过点​$P $​作​$PN\perp x$​轴于点​$N，$​易证​$\triangle PNA≌\triangle AOB(\mathrm {AAS})$​
∴​$PN = AO = 6，$​​$AN = BO = 8$​
∴​$ON = OA + AN = 14，$​∴点​$P $​的坐标为​$(14，$​​$6)；$​
当​$∠AP B = 90°，$​​$BP = AP $​时，如图③
​$ $​过点​$P $​分别作​$PG\perp x$​轴于点​$G，$​​$PH\perp y$​轴于点​$H$​
易证​$\triangle AGP≌\triangle BHP(\mathrm {AAS})，$​∴​$AG = BH，$​​$PG = PH$​
易得四边形​$OHPG $​是长方形，∴​$OH = PG，$​​$OG = PH，$​即​$OH = OG$​
∴​$OB - BH = OA + AG，$​即​$8 - BH = 6 + AG$​
∴​$BH = AG = 1，$​∴​$OG = 7 = PH = PG$​
∴点​$P $​的坐标为​$(7，$​​$7)$​
综上，点​$P $​的坐标为​$(8，$​​$14)$​或​$(14，$​​$6)$​或​$(7，$​​$7)$​
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