解：$(1)①$在$Rt\triangle ABC$中，$∠C$为直角，$BC = a，$$CA = b，$$AB = c$
由勾股定理，得$BC^2+AC^2=AB^2，$即$a^2+b^2=c^2$
②如图①，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$
∵$BC = a，$$CA = b，$$AB = c，$∴$BD = BC - CD=a - CD$
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2，$$AD^2=AC^2-CD^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，$即$c^2-(a - CD)^2=b^2-CD^2$
整理，得$a^2+b^2=c^2+2a·CD$
∵$a>0，$$CD>0，$∴$a^2+b^2>c^2$
③如图②，过点$A$作$AD\perp BC，$交$BC$的延长线于点$D$
∵$BC = a，$$CA = b，$$AB = c，$∴$BD = BC + CD = a + CD$
在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理，得$AD^2=AB^2-BD^2，$$AD^2=AC^2-CD^2$
∴$AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，$即$c^2-(a + CD)^2=b^2-CD^2$
整理，得$a^2+b^2+2a·CD=c^2$
∵$a>0，$$CD>0，$∴$a^2+b^2＜c^2$
$ (2)$∵$c $为最长边，$a = 7，$$b = 24，$且$7 + 24 = 31$
∴$24\leqslant c＜31，$a^2+b^2=7^^2+24^2=25^2
$ ①$当$\triangle ABC$是锐角三角形时，$a^2+b^2>c^2$
∴$c^2＜25^2，$解得$0＜c＜25$
∴当$24\leqslant c＜25$时，$\triangle ABC$是锐角三角形
$ ②$当$\triangle ABC$是直角三角形时，$a^2+b^2=c^2$
∴$c^2=25^2，$解得$c = 25$
∴当$c = 25$时，$\triangle ABC$是直角三角形
$ ③$当$\triangle ABC$是钝角三角形时，$a^2+b^2＜c^2$
∴$c^2>25^2，$解得$c>25$
∴当$25＜c＜31$时，$\triangle ABC$是钝角三角形
综上，当$24\leqslant c＜25$时，$\triangle ABC$是锐角三角形；
当$c = 25$时，$\triangle ABC$是直角三角形；
当$25＜c＜31$时，$\triangle ABC$是钝角三角形
