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解：​$(2)$​由折叠的性质，得​$AE = AC，$​​$DE = CD，$​​$∠AED=∠C$​
∵​$∠C = 2∠B，$​∴​$∠AED = 2∠B$​
∵​$∠AED=∠B+∠BDE，$​∴​$∠B=∠BDE$​
∴​$BE = DE，$​即​$BE = CD$​
又​$AB = AE + BE，$​∴​$AB = AC + CD$​
​$(3)$​连接​$PE，$​​$EC，$​​$EG$​
由折叠的性质，得​$AE = AC，$​​$PE = P C$​
∴​$PG + P C = PG + PE\geqslant EG，$​即​$PG + P C$​的最小值为​$EG $​的长
∵​$∠BAC = 60°，$​∴​$\triangle AEC$​是等边三角形
∵​$G $​为​$AC$​的中点，​$AG = 5，$​∴​$AE = AC = 2\ \mathrm {A}G = 10，$​​$EG\perp AC$​
∴​$∠AGE = 90°。$​在​$Rt\triangle AEG $​中，由勾股定理，得​$EG^2=AE^2-AG^2=75$​
∴​$(PG + P C)^2$​的最小值为​$75$​
$(-4,0)$
$(0,1)$
$(-5,4)$
$\sqrt{180}$
解：​$(2)①$​过点​$D$​作​$FG//x$​轴，交​$y$​轴于点​$F，$​
交直线​$l$​于点​$ G，$​易得​$∠AF D= ∠DGP=90°$​
∵​$∆AP D$​是以​$D$​为直角顶点​$ $​的等腰直角三角形
∴同​$(1)，$​得​$∆ADF≌ ∆DPG$​
∴​$AF=DG，$​​$DF=PG$​
∵点​$A $​的坐标为​$(0，$​​$−6)，$​点​$B$​的坐标为​$(8，$​​$0)$​
∴​$OA=6，$​​$FG=OB=8$​
设​$DF=PG=m$​
则​$ AF=DG=FG−DF=8−m$​
当点​$D$​在点​$A $​下方时，​$OF=OA+AF=14−m$​
∴点​$D$​的​$ $​坐标为​$(m，$​​$m−14)$​
把​$D(m，$​​$m−14)$​代入​$y= −2x+2$​中，
得​$−2m+2=m−14，$​解得​$m= \frac {16}3$​
则​$m−14=−\frac {26}3$​
∴点​$D$​的坐标为​$(\frac {16}3，$​​$−\frac {26}3)$​
当点​$D$​在点​$A$​上方时，同理，得点​$D$​的坐标为​$(0，$​​$2)$​
综上，点​$D$​的坐标为​$(\frac {16}3，$​​$-\frac {26}3)$​或​$(0，$​​$2)$​
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