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稳定性

$BD = CD$

$AB = AC$

$AP$平分$\angle BAC$

证明: (1)在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，

 $\begin{cases}\angle AOB=\angle DOC \\\angle ABO=\angle DCO \\AB = DC\end{cases}$

 $\therefore \triangle ABO\cong\triangle DCO(AAS)。$

 (2)$\because \triangle ABO\cong\triangle DCO，$$\therefore \angle A=\angle D，$$OA = OD，$$OB = OC，$$\therefore OB + OD=OA + OC，$即$BD = AC。$

 在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，

 $\begin{cases}AB = DC \\BC = CB \\AC = DB\end{cases}$

 $\therefore \triangle ABC\cong\triangle DCB(SSS)，$$\therefore \angle ABC=\angle DCB，$$\therefore \angle ABC-\angle ABO=\angle DCB-\angle DCO，$$\therefore \angle OBC=\angle OCB。$

$证明:在△BAD和△CAD中$

$\begin{cases}{ BD=CD} \\ {AB=AC\ } \\{ AD=AD} \end{cases}$

$∴△BAD≌△CAD(SSS)$

$∴∠BAP=∠CAP$

$∴AP平分∠BAC$