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$2＜AD＜10$

 证明：延长$FD$至点$M，$使$DM = DF，$连接$BM，$$EM。$

 因为$D$是$BC$边上的中点，所以$BD = CD。$

 在$\triangle BDM$和$\triangle CDF$中，

 $\begin{cases}BD = CD\\\angle BDM=\angle CDF\\DM = DF\end{cases}$

 所以$\triangle BDM\cong\triangle CDF(SAS)，$则$BM = CF。$

 因为$DE\perp DF，$$DM = DF，$所以$EM = EF。$

 在$\triangle BME$中，由三角形的三边关系，得$BE + BM＞EM，$所以$BE + CF＞EF。$

 证明：过点$B$作$BF// AC，$交$CE$的延长线于点$F。$

 因为$CE$是$\triangle ABC$的中线，$BF// AC，$所以$AE = BE，$$\angle BAC=\angle ABF，$$\angle ACE=\angle F。$

 在$\triangle ACE$和$\triangle BFE$中，

 $\begin{cases}\angle EAC=\angle EBF\\\angle ACE=\angle F\\AE = BE\end{cases}$

 所以$\triangle ACE\cong\triangle BFE(AAS)，$所以$CE = EF，$$AC = BF，$所以$CF = 2CE。$

 因为$\angle ACB=\angle ABC，$作$AG\perp BC$于点$G，$易证$\triangle ACG\cong\triangle BAG，$所以$AC = AB。$

 又$CB$是$\triangle ADC$的中线，所以$AC = AB = BD = BF。$

 因为$\angle DBC=\angle BAC+\angle ACB=\angle ABF+\angle ABC，$所以$\angle DBC=\angle FBC。$

 在$\triangle DBC$和$\triangle FBC$中，

 $\begin{cases}DB = FB\\\angle DBC=\angle FBC\\BC = BC\end{cases}$

 所以$\triangle DBC\cong\triangle FBC(SAS)，$所以$CD = CF = 2CE。$

 证明：在$CD$上截取$JD = DE，$连接$JA，$过点$A$作$AI\perp CD$于$I，$$AH\perp BC$于$H，$则$\angle AIJ=\angle AHB = 90^{\circ}。$

 因为$DA$平分$\angle CDE，$所以$\angle ADC=\angle ADE。$

 在$\triangle AJD$与$\triangle AED$中，

 $\begin{cases}JD = DE\\\angle ADC=\angle ADE\\AD = AD\end{cases}$

 所以$\triangle AJD\cong\triangle AED(SAS)，$所以$AE = AJ，$$\angle AJD=\angle E。$

 又$AB = AE，$所以$AB = AJ。$

 因为$\angle B+\angle E = 180^{\circ}，$$\angle AJD+\angle AJC = 180^{\circ}，$所以$\angle B=\angle AJC。$

 在$\triangle AJI$与$\triangle ABH$中，

 $\begin{cases}\angle AIJ=\angle AHB\\\angle AJI=\angle B\\AJ = AB\end{cases}$

 所以$\triangle AJI\cong\triangle ABH(AAS)，$所以$AI = AH，$$BH = IJ。$

 在$Rt\triangle AIC$与$Rt\triangle AHC$中，

 $\begin{cases}AI = AH\\AC = AC\end{cases}$

 所以$Rt\triangle AIC\cong Rt\triangle AHC(HL)，$所以$HC = IC。$

 所以$BC + DE=BH + HC+DE=IJ + CI+JD = CD，$即$BC + DE = CD。$