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解：（1）$\triangle BPE$与$\triangle CQP$全等。理由如下：
因为点$E$为$AB$的中点，$AB = 20cm，$所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times20 = 10(cm)。$
因为点$P，$$Q$的速度都是$5cm/s，$经过$1s$后，$BP = 5cm，$$PC=BC - BP=15 - 5 = 10(cm)，$$CQ = 5cm。$
在$\triangle BPE$与$\triangle CQP$中，$\begin{cases}BE = CP\\\angle B=\angle C\\BP = CQ\end{cases}，$
所以$\triangle BPE\cong\triangle CQP(SAS)。$
（2）$\triangle BPE$与$\triangle CQP$全等时，
①若$CQ = BE = 10cm，$则$BP = CP = 7.5cm，$点$Q$的运动速度为$v_Q=10\div(7.5\div5)=\frac{20}{3}(cm/s)；$
②若$CP = BE = 10cm，$$BP = CQ = 5cm，$点$Q$的运动速度为$v_Q=5\div(5\div5)=5(cm/s)。$
因为点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度不相等，所以$v_Q = 5cm/s$舍去，
所以点$Q$的运动速度为$\frac{20}{3}cm/s$时，能够使$\triangle BPE$与$\triangle CQP$全等。
解：（1）$\triangle ACP\cong\triangle BPQ，$且$PC\perp PQ。$理由如下：
当$t = 1$时，$AP = BQ = 1cm，$$BP = AC = 3cm。$
因为$AC\perp AB，$$BD\perp AB，$所以$\angle A=\angle B = 90^{\circ}。$
在$\triangle ACP$和$\triangle BPQ$中，$\begin{cases}AP = BQ\\\angle A=\angle B\\AC = BP\end{cases}，$
所以$\triangle ACP\cong\triangle BPQ(SAS)，$所以$\angle ACP=\angle BPQ，$
所以$\angle APC+\angle BPQ=\angle APC+\angle ACP = 90^{\circ}，$所以$\angle CPQ = 90^{\circ}，$即$PC\perp PQ。$
（2）存在满足条件的$x$值及相应的$t$值。
①若$\triangle ACP\cong\triangle BPQ，$则$AC = BP，$$AP = BQ。$可得$\begin{cases}3 = 4 - t\\t = xt\end{cases}，$解得$\begin{cases}t = 1\\x = 1\end{cases}。$
②若$\triangle ACP\cong\triangle BQP，$则$AC = BQ，$$AP = BP，$可得$\begin{cases}3 = xt\\t = 4 - t\end{cases}，$解得$\begin{cases}t = 2\\x = 1.5\end{cases}。$
综上所述，存在$t = 1，$$x = 1$或$t = 2，$$x = 1.5，$使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等。
解：（1）在$\triangle ABC$和$\triangle EDC$中，$\begin{cases}AC = EC\\\angle ACB=\angle ECD\\BC = DC\end{cases}，$
所以$\triangle ABC\cong\triangle EDC(SAS)，$所以$\angle A=\angle E，$$AB = DE，$所以$AB// DE。$
（2）当$0\leq t\leq\frac{4}{3}$时，$AP = 3t cm；$
当$\frac{4}{3}＜t\leq\frac{8}{3}$时，$BP=(3t - 4)cm，$则$AP = 4-(3t - 4)=(8 - 3t)cm。$
（3）如图，由（1）得，$\angle A=\angle E，$$ED = AB = 4cm，$
在$\triangle ACP$和$\triangle ECQ$中，$\begin{cases}\angle A=\angle E\\AC = EC\\\angle ACP=\angle ECQ\end{cases}，$
所以$\triangle ACP\cong\triangle ECQ(ASA)，$所以$AP = EQ。$
当$0\leq t\leq\frac{4}{3}$时，$3t = 4 - t，$解得$t = 1；$
当$\frac{4}{3}＜t\leq\frac{8}{3}$时，$8 - 3t = 4 - t，$解得$t = 2。$
综上所述，当线段$PQ$经过点$C$时，$t$的值为$1$或$2。$
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