(1)证明：
如图①，过点$C$作$CF\perp AN，$垂足为$F。$
因为$AC$平分$\angle MAN，$$CE\perp AB，$$CF\perp AN，$所以$CE = CF。$
因为$\angle CBE+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\angle CDF+\angle ADC = 180^{\circ}，$所以$\angle CBE=\angle CDF。$
在$\triangle BCE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle CBE=\angle CDF \\ \angle CEB=\angle CFD = 90^{\circ}\\CE = CF\end{cases}，$所以$\triangle BCE\cong\triangle DCF(AAS)，$所以$BC = DC。$
(2)解：$AD - AB = 2BE。$理由如下：
如图②，过点$C$作$CF\perp AD，$垂足为$F。$
因为$AC$平分$\angle MAN，$$CE\perp AB，$$CF\perp AD，$所以$CE = CF。$
因为$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\angle ABC+\angle CBE = 180^{\circ}，$所以$\angle CDF=\angle CBE。$
在$\triangle BCE$和$\triangle DCF$中，$\begin{cases}\angle CBE=\angle CDF \\ \angle CEB=\angle CFD = 90^{\circ}\\CE = CF\end{cases}，$所以$\triangle BCE\cong\triangle DCF(AAS)，$所以$DF = BE。$
因为$CF = CE，$$AC = AC，$所以$Rt\triangle ACF\cong Rt\triangle ACE(HL)，$所以$AF = AE。$
所以$AD=AF + DF=AE + DF=AB + BE+DF=AB + 2BE，$所以$AD - AB = 2BE。$
(3)解：
如图③，在$BD$上截取$BH = BG，$连接$OH。$
因为$BH = BG，$$\angle OBH=\angle OBG，$$OB = OB，$所以$\triangle OBH\cong\triangle OBG(SAS)，$所以$\angle OHB=\angle OGB。$
因为$AO$是$\angle MAN$的平分线，$BO$是$\angle ABD$的平分线，所以点$O$到$AD，$$AB，$$BD$的距离相等，所以$\angle ODH=\angle ODF。$
因为$\angle OHB=\angle ODH+\angle DOH，$$\angle OGB=\angle ODF+\angle DAB，$所以$\angle DOH=\angle DAB = 60^{\circ}，$所以$\angle GOH = 120^{\circ}，$所以$\angle BOG=\angle BOH = 60^{\circ}，$所以$\angle DOH=\angle DOF = 60^{\circ}。$
在$\triangle ODH$和$\triangle ODF$中，$\begin{cases}OD = OD \\ \angle ODH=\angle ODF\\\angle DOH=\angle DOF\end{cases}，$所以$\triangle ODH\cong\triangle ODF(ASA)，$所以$DH = DF。$
所以$DB=DH + BH=DF + BG=2 + 1=3。$
