$ (1)证明： $
因为$PM\perp OA，$所以$\angle OMP = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle OMP$中，$D$是$OP$的中点，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$DM=\frac{1}{2}OP = DO，$
所以$\angle DMO=\angle DOM，$则$\angle MDP = 2\angle MOP。$
同理可知，在$Rt\triangle ONP$中，$DN=\frac{1}{2}OP = DO，$$\angle NDP = 2\angle NOP，$
所以$\angle MDN=\angle MDP+\angle NDP = 2\angle MOP + 2\angle NOP=2\angle MON。$
(2)解：$\angle DME = 180^{\circ}-2\angle A。$
$ 理由如下： $
因为$CD，$$BE$分别是$AB，$$AC$边上的高，$M$是$BC$的中点，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$DM=\frac{1}{2}BC，$$ME=\frac{1}{2}BC，$
所以$DM = ME。$
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A。$
因为$DM = BM = MC，$$ME = BM = MC，$
所以$\angle BMD = 180^{\circ}-2\angle ABC，$$\angle CME = 180^{\circ}-2\angle ACB，$
则$\angle BMD+\angle CME=(180^{\circ}-2\angle ABC)+(180^{\circ}-2\angle ACB)=360^{\circ}-2(\angle ABC + \angle ACB)=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A，$
所以$\angle DME = 180^{\circ}-(\angle BMD+\angle CME)=180^{\circ}-2\angle A。$
$ (3)解：$
∠DME=2∠BAC−180°
