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 解：（1）$\triangle AND$是等边三角形。

 证明：因为把边长为$4$的正方形纸片$ABCD$对折，使边$AB$与$CD$重合，展开后得到折痕$EF，$所以$FE$是$AD$的垂直平分线，所以$AN = DN。$

 因为将正方形纸片$ABCD$沿直线$DM$折叠，使点$C$落在折痕$EF$上的点$N$处，所以$DC = DN = 4。$

 又因为$AD = 4，$所以$AN = DN = 4 = AD，$所以$\triangle AND$是等边三角形。

 （2）因为把边长为$4$的正方形纸片$ABCD$对折，使边$AB$与$CD$重合，展开后得到折痕$EF，$所以$DE=\frac{1}{2}AD = 2，$$\angle DEN = 90^{\circ}。$

 因为将正方形纸片$ABCD$沿直线$DM$折叠，使点$C$落在折痕$EF$上的点$N$处，所以$DC = DN = 4，$$\angle C=\angle DNM = 90^{\circ}，$$MN = CM。$

 因为$DE=\frac{1}{2}DN，$所以$\angle DNE = 30^{\circ}。$

 所以$\angle MNF = 180^{\circ}-\angle DNE-\angle DNM = 60^{\circ}。$

 因为$\angle NFC = 90^{\circ}，$所以$\angle FMN = 30^{\circ}。$

 所以$NF=\frac{1}{2}MN，$所以$NF=\frac{1}{2}CM。$

 解：（1）将$\triangle ADC$沿$AD$折叠，点$C$落在$BC$边上的点$C'$处，如图①。

 因为$AD\perp BC，$点$C$落在$BD$上的点$C'$处，所以$AC = AC' = 10，$$CD = C'D = 4，$$\angle AC'D=\angle C。$

 因为$\angle AC'D=\angle C'AB+\angle B，$$\angle C = 2\angle B，$所以$\angle B=\angle BAC'，$所以$C'A = C'B = AC = 10。$

 则$BD = BC'+C'D = 10 + 4 = 14。$

 （2）猜想：$AB = AC + CD。$

 证明：如图②，把$AC$沿$\angle A$的平分线$AD$翻折，使点$C$落在$AB$上的点$C'$处。

 所以$AC = AC'。$

 因为$\angle AC'D=\angle C=\angle B+\angle C'DB，$又$\angle C = 2\angle B，$所以$\angle B=\angle C'DB，$所以$C'B = C'D。$

 则$AB - AC = AB - AC' = BC' = C'D = CD，$即$AB = AC + CD。$