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$-2$或$-12$

$\sqrt{2}$

$\pm9$

解: (2)设这个正数的两个平方根分别为$x，$$y，$$x＞0，$由题意得$\begin{cases}x + y = 0\\x - y = a\end{cases}，$

 将两式相加可得：$2x=a，$解得$x = \frac{a}{2}，$

 因为这个正数为$x^{2}，$所以这个正数是$(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{4}。$

 (3)分两种情况：

 ①当这两个平方根相等时，可得$4 - n = 2n + 1，$

 移项可得：$4 - 1 = 2n + n，$

 即$3n = 3，$解得$n = 1，$

 则所求的正数为$(4 - 1)^{2}=9；$

 ②当这两个平方根互为相反数时，可得$(4 - n)+(2n + 1)=0，$

 去括号得$4 - n + 2n + 1 = 0，$

 合并同类项得$n + 5 = 0，$解得$n = -5，$

 则所求的正数为$[4 - (-5)]^{2}=81。$

 综上所述，这个正数为9或81。

解: (1)由题意可知$x + y = 5，$$xy = 6，$

 因为$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy，$

 所以$x^{2}+y^{2}=5^{2}-2\times6=25 - 12 = 13，$

 所以$x^{2}+y^{2}$的平方根为$\pm\sqrt{13}。$

 (2)依题意，得$2m + 2 = 16$且$3m + n + 1 = 25，$

 由$2m + 2 = 16，$移项可得$2m = 16 - 2 = 14，$解得$m = 7，$

 把$m = 7$代入$3m + n + 1 = 25，$得$3\times7 + n + 1 = 25，$

 即$21 + n + 1 = 25，$$n = 25 - 21 - 1 = 3，$

 所以$m + 3n = 7 + 3\times3 = 7 + 9 = 16，$

 所以$m + 3n$的平方根为$\pm4。$

$\pm2$

解: (1)因为$(\pm4i)^{2}=-16，$所以$-16$的平方根是$\pm4i；$

 因为$(\pm5i)^{2}=-25，$所以$-25$的平方根是$\pm5i。$

 (2)$i^{3}=i^{2}\cdot i=-i，$$i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1，$$i^{5}=i^{4}\cdot i = i，$$i^{6}=i^{5}\cdot i = i^{2}=-1，$$i^{7}=i^{6}\cdot i=-i，$$i^{8}=i^{7}\cdot i = 1。$

 规律：$i$的每四次方一个循环，即$i^{4n + 1}=i，$$i^{4n + 2}=-1，$$i^{4n + 3}=-i，$$i^{4n + 4}=1$（$n\geq0，$$n$为整数）。