(1) 解：如图①所示，作点$P$关于$BC$的对称点$P'，$连接$P'Q，$交$BC$于点$M，$连接$PQ，$$PM。$
因为点$P$与点$P'$关于$BC$对称，所以$PM = P'M。$
此时$\triangle PQM$的周长为$PQ + PM + QM = PQ + P'M + QM = PQ + P'Q，$根据两点之间线段最短，所以此时$\triangle PQM$的周长最短，点$M$即为所求。
(2) 解：如图②所示，作点$E$关于$BC$的对称点$E'，$作点$F$关于$CD$的对称点$F'，$连接$E'F'，$交$BC$于点$M，$交$CD$于点$N，$连接$EM，$$FN。$
因为点$E$与点$E'$关于$BC$对称，点$F$与点$F'$关于$CD$对称，所以$EM = E'M，$$FN = F'N。$
则$EF + EM + MN + FN = EF + E'M + MN + F'N = EF + E'F'，$此时四边形$EFNM$的周长的最小值为$EF + E'F'$的长。
已知$AB = 6，$$AD = 8，$点$E，$$F$分别为边$AB，$$AD$的中点，则$AE=\dfrac{1}{2}AB = 3，$$AF=\dfrac{1}{2}AD = 4。$
所以$AE' = 6 + 3 = 9，$$AF' = 8 + 4 = 12。$
在$Rt\triangle AE'F'$中，由勾股定理得$E'F'=\sqrt{AE'^{2}+AF'^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15。$
又在$Rt\triangle AEF$中，$EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5。$
所以四边形$EFNM$的周长的最小值$=EF + E'F' = 5 + 15 = 20。$
(3) 解：如图③，过点$C$作$CO\perp AB$于点$O，$延长$CO$到点$C'，$使$OC' = OC，$则$C'$是$C$关于$AB$的对称点，连接$DC'，$交$AB$于点$P，$连接$CP。$
此时$PD + PC = PD + PC' = DC'$的值最小。
因为$BD = 3，$$DC = 1，$所以$BC = BD + DC = 4。$
因为$AC = BC，$$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle CBA = 45^{\circ}。$
由对称性可知$\angle C'BA = \angle CBA = 45^{\circ}，$所以$\angle CBC' = 90^{\circ}，$$BC'\perp BC，$$\angle BCC' = \angle BC'C = 45^{\circ}，$所以$BC = BC' = 4。$
在$Rt\triangle C'BD$中，由勾股定理得$DC'=\sqrt{BD^{2}+BC'^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5。$
所以$PC + PD$的最小值为$5。$
