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$k\leqslant-\frac{3}{4}$或$k\geqslant4$

 (2)解：平移后的直线表达式为$y=-x + 1，$在直线$y=-x$上任意取一点$P，$当$x = 0$时，$y = 0，$所以$P(0,0)。$

 因为直线$y=-x + 1，$即$x + y-1 = 0，$$A = 1，$$B = 1，$$C=-1。$

 根据点到直线的距离公式$d=\frac{\vert Ax_0+By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}，$可得$d=\frac{\vert0 + 0-1\vert}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}。$

 所以两平行线之间的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}。$

 (3)解：由点到直线的距离公式得$\frac{\vert1\times1+1\times0 + C\vert}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{\vert1 + C\vert}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}，$所以$\vert1 + C\vert=(\sqrt{2})^2 = 2。$

 当$1 + C = 2$时，$C = 1；$当$1 + C=-2$时，$C=-3。$

 所以实数$C$的值为$1$或$-3。$

 (2)①解：已知$G(1,3)，$$H(-2,1)，$$I(-1,6)。$

 根据斜率公式$k=\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}，$可得$k_{GH}=\frac{3 - 1}{1 - (-2)}=\frac{2}{3}，$$k_{GI}=\frac{3 - 6}{1 - (-1)}=-\frac{3}{2}。$

 所以$k_{GH}\cdot k_{GI}=\frac{2}{3}\times(-\frac{3}{2})=-1。$

 ②解：设直线$l$的表达式为$y = ax + b，$因为直线$l$与直线$y = -\frac{1}{3}x + 3$垂直，根据两垂直直线斜率之积为$-1，$可得$-\frac{1}{3}a=-1，$解得$a = 3，$则$y = 3x + b。$

 将$A(2,3)$代入$y = 3x + b，$得$3 = 3\times2 + b，$解得$b=-3。$

 所以直线$l$的表达式为$y = 3x - 3。$

 (3)解：过点$K$作$KM\perp x$轴于点$M，$过点$S$作$SN\perp x$轴于点$N，$连接$KS$交$OR$于点$J。$

 因为$S(6,8)，$所以$ON = 6，$$SN = 8。$

 因为四边形$OKRS$是正方形，所以$OK = OS，$$\angle KRS=\angle KOS = 90^{\circ}，$$KJ = JS，$$JR = JO，$$\angle KMO=\angle SNO = 90^{\circ}，$$\angle KJO=\angle SJO = 90^{\circ}，$$\angle KOM+\angle SON = 90^{\circ}，$$\angle SON+\angle OSN = 90^{\circ}，$所以$\angle KOM=\angle OSN。$

 在$\triangle KMO$和$\triangle SNO$中，$\begin{cases}\angle KMO=\angle SNO\\\angle KOM=\angle OSN\\OK = OS\end{cases}，$所以$\triangle KMO\cong\triangle SNO(AAS)，$所以$KM = ON = 6，$$OM = SN = 8，$所以$K(-8,6)。$

 因为$KJ = JS，$所以$J(-1,7)。$

 因为$JR = OJ，$所以$R(-2,14)，$则$k_{OR}=\frac{14 - 0}{-2 - 0}=-7。$

 因为$RT\perp OR，$所以$k_{RT}=\frac{1}{7}。$

 设直线$RT$的表达式为$y=\frac{1}{7}x + b，$把$(-2,14)$代入可得$14=-\frac{2}{7}+b，$解得$b=\frac{100}{7}。$

 所以直线$RT$的表达式为$y=\frac{1}{7}x+\frac{100}{7}。$