解：
(1)当$0\leqslant x\leqslant2000$时，设$y = k'x，$根据题意可得，$2000k' = 30000，$解得$k' = 15，$$\therefore y = 15x。$
当$x\gt2000$时，设$y = kx + b，$根据题意可得$\begin{cases}2000k + b = 30000\\4000k + b = 56000\end{cases}，$
用$4000k + b = 56000$减去$2000k + b = 30000$得：
$(4000k + b)-(2000k + b)=56000 - 30000，$
$4000k + b - 2000k - b = 26000，$
$2000k = 26000，$
解得$k = 13，$
把$k = 13$代入$2000k + b = 30000$得$26000 + b = 30000，$
$b = 30000 - 26000 = 4000，$
$\therefore y = 13x + 4000。$
$\therefore y=\begin{cases}15x(0\leqslant x\leqslant2000)\\13x + 4000(x\gt2000)\end{cases}。$
(2)根据题意可知，购进甲种产品$(6000 - x)$千克，$\because1600\leqslant x\leqslant4000，$
当$1600\leqslant x\leqslant2000$时，$w=(12 - 8)(6000 - x)+(18 - 15)x=-4x + 24000+3x=-x + 24000，$
$\because -1\lt0，$$\therefore$当$x = 1600$时，$w$的最大值为$-1×1600 + 24000 = 22400$（元）。
当$2000\lt x\leqslant4000$时，$w=(12 - 8)(6000 - x)+18x-(13x + 4000)=4(6000 - x)+18x-13x - 4000=24000-4x + 18x-13x - 4000=x + 20000，$
$\because1\gt0，$$\therefore$当$x = 4000$时，$w$的最大值为$4000 + 20000 = 24000$（元）。
综上，$w=\begin{cases}-x + 24000(1600\leqslant x\leqslant2000)\\x + 20000(2000\lt x\leqslant4000)\end{cases}，$当购进甲种产品$2000$千克，乙种产品$4000$千克时，利润最大为$24000$元。
(3)根据题意可知，降价后，$w=(12 - 8 - a)(6000 - x)+(18 - 2a)x-(13x + 4000)=(4 - a)(6000 - x)+(18 - 2a)x-13x - 4000=24000-4x-6000a+ax + 18x-2ax-13x - 4000=(1 - a)x + 20000-6000a，$
当$x = 4000$时，$w$取得最大值，$\therefore(1 - a)×4000 + 20000-6000a\geqslant15000，$
$4000-4000a + 20000-6000a\geqslant15000，$
$-10000a\geqslant15000 - 4000 - 20000，$
$-10000a\geqslant - 9000，$
解得$a\leqslant0.9。$
$\therefore a$的最大值为$0.9。$
