(1)
解：因为直线$l:y = mx + 10m$与$x$轴负半轴、$y$轴正半轴分别交于$A，$$B$两点，所以$A(-10,0)，$$B(0,10m)。$
因为$OA = OB，$所以$10m = 10，$解得$m = 1。$
所以直线$l$的函数表达式为$y=x + 10。$
(2)
①当点$Q$在线段$AB$的延长线上时，
因为$AM\perp OQ，$$BN\perp OQ，$所以$\angle AMO=\angle BNO = 90^{\circ}，$$\angle AOM+\angle MAO = 90^{\circ}。$
又因为$\angle AOM+\angle BON = 90^{\circ}，$所以$\angle MAO=\angle NOB。$
在$\triangle AMO$和$\triangle ONB$中，$\begin{cases}\angle AMO=\angle ONB\\\angle MAO=\angle NOB\\OA = BO\end{cases}，$所以$\triangle AMO\cong\triangle ONB(AAS)。$
所以$AM = ON，$$OM = BN。$
因为$AM = 8，$$BN = 6，$所以$MN=ON + OM=AM + BN=14。$
②当点$Q$在线段$AB$上时，
同理可得$\triangle AMO\cong\triangle ONB，$所以$AM = ON，$$OM = BN。$
因为$AM = 8，$$BN = 6，$所以$MN=ON - OM=AM - BN=2。$
综上，$MN$的长为$14$或$2。$
(3)
解：$PB$的长为定值。
过点$E$作$EG\perp y$轴于点$G。$
因为$\triangle AEB$是等腰直角三角形，所以$AB = EB，$$\angle ABO+\angle EBG = 90^{\circ}。$
因为$EG\perp BG，$所以$\angle GEB+\angle EBG = 90^{\circ}，$所以$\angle ABO=\angle GEB。$
在$\triangle ABO$和$\triangle BEG$中，$\begin{cases}\angle BOA=\angle EGB\\\angle ABO=\angle BEG\\AB = BE\end{cases}，$所以$\triangle ABO\cong\triangle BEG(AAS)。$
所以$BG = AO = 10，$$OB = EG。$
因为$\triangle OBF$是等腰直角三角形，所以$OB = BF，$所以$BF = EG。$
在$\triangle BFP$和$\triangle GEP$中，$\begin{cases}\angle FPB=\angle EPG\\\angle FBP=\angle EGP\\FB = EG\end{cases}，$所以$\triangle BFP\cong\triangle GEP(AAS)。$
所以$BP = GP=\frac{1}{2}BG = 5，$所以$PB$的长是定值。
