$解:(2)①如图①,过点B作BE⊥AQ于E,作EF⊥y轴于F$ $作AD⊥EF 交FE延长线于D$ $∴∠D=∠BFE=∠AEB=90°$ $∴∠AED+∠DAE=90°,∠AED+∠BEF=90°$ $∴∠DAE=∠BEF$ $∵∠BAQ=45°,∴∠ABE=90°−∠BAQ=45°$ $∴∠ABE=∠BAQ,∴AE=BE,∴△ADE≌△EFB(AAS)$ $∴AD=EF,BF=DE$ $设E(x,y),∴−y=−x,2−y=x−(−4)$ $∴x=y=−1,∴E(−1,−1)$ $设直线AQ的表达式为y=mx+n$ $∴\begin{cases}{-4m+n=0\ } \\ { -m+n=-1} \end{cases},∴\begin{cases}{m=-\frac {1}{3}\ } \\ { n=-\frac {4}{3}} \end{cases}$ $∴y=-\frac {1}{3}x-\frac {4}{3}$ $∴Q(0,−\frac{4}{3})$ $如图②,同理可得,DE=BF,AD=EF$ $∴x−(−4)=y−2,y=−x,∴x=−3,y=3,∴E(−3,3)$ $∴\begin{cases}{ -4m+n=0} \\ { -3m+n=0} \end{cases},∴\begin{cases}{ m=3} \\ { n=12} \end{cases}$ $∴y=3x+12,∴Q(0,12)$ $综上所述,点Q的坐标为(0,−\frac{4}{3})或(0,12)$ $②点P的坐标为(−\frac{20}{9},0)或(−\frac{20}{13},0)或(\frac{20}{3},0)$ $解:(1)对于一次函数y=2x+4,令y=0$ $则有0=2x+4,解得x=−2,∴点 A(−2,0)$ $∴OA=2$ $∵OC=2OA=2×2=4,∴C(4,0)$ $对于一次函数y=2x+4,令x=0,则y=4,∴B(0,4)$ $设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0)$ $通过点B(0,4),C(4,0)可得BC的表达式为y=−x+4$ $(2)①根据题意，过点M作y轴的平行线,$ $交直线AB于点P,交直线 BC于点Q$ $当点M在x轴负半轴时,如图①$ $可设M(a,0)(a＜0),则P(a,2a+4),则Q(a,−a+4)$ $∴PQ=|2a+4−(−a+4)|=|3a|=−3a$ $∵△PQB的面积为\frac{8}{3},B(0,4)$ $∴S_{△POB}=\frac{1}{2}PQ×|a|=\frac{3}{2}a²=\frac{8}{3}$ $解得a=\frac{4}{3}(舍去)或a=-\frac{4}{3},此时M(-\frac{4}{3},0)$ $当点M在x轴正半轴时,如图②$ $可设M(a,0)(a＞0),则P(a,2a+4),则Q(a,−a+4)$ $∴PQ=|2a+4−(−a+4)|=|3a|=3a$ $∵△PQB的面积为\frac{8}{3},B(0,4)$ $∴S_{△PQB}=\frac{1}{2}PQ×|a|=\frac{3}{2}a²=\frac{8}{3}$ $解得a=\frac{4}{3}或a=-\frac{4}{3}(舍去),此时M(\frac{4}{3},0)$ $综上所述,点M的坐标为(−\frac{4}{3},0)或(\frac{4}{3},0)$ $②$ $（更多请点击查看作业精灵详解）$
$解:②由(1)可知,A(−2,0),B(0,4),C(4,0)$ $∴OB=OC=4$ $又∵∠BOC=90°$ $∴∠OBC=∠OCB=\frac{1}{2}(180°−∠BOC)=45°$ $可分两种情况讨论:$ $当∠MBO=∠ABO时,如图③$ $可有∠MBC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°$ $在△ABO和△MBO中$ $\begin{cases}{ ∠ABO=∠MBO} \\ { BO=BO} \\{ ∠AOB=∠MOB} \end{cases}$ $∴△ABO≌△MBO(ASA),∴OM=OA=2$ $∴M(2,0)$
$当∠M'BC=∠MBC时,如图④$ $过点C作CK⊥OM',交BM'于点K$ $可有∠M'BC+∠ABO=∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°$ $∵∠M'BC+∠BM'O=∠OCB=45°$ $∠MBC+∠MBO=∠OBC=45°$ $∴∠M'BC+∠BM'O=∠MBC+∠MBO$ $∴∠BM'O=∠MBO=∠ABO$ $∵∠BM'O+∠CKM'=∠MBO+∠OMB=90°$ $∴∠CKM'=∠OMB$ $∵∠CKM'+∠BKC=∠OMB+∠BMC=180°$ $∴∠BKC=∠BMC$ $在△BMC和△BKC中,$ $\begin{cases}{∠MBC=∠KBC\ } \\ { ∠BMC=∠BKC} \\{ BC=BC} \end{cases}$ $∴△BMC≌△BKC(AAS)$ $∴KC=MC=4−2=2$ $在△OBM和△CM'K中$ $\begin{cases}{ ∠OBM=∠CM'K} \\ { ∠BOM=∠M'CK} \\{ OM=CK} \end{cases}$ $∴△OBM≌△CM'K(AAS)$ $∴CM'=OB=4,∴OM'=OC+CM'=4+4=8$ $∴M'(8,0)$
$综上,M(2,0)或(8,0)$
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