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解：$(1)$由题图，得$a + c<0，$$c - b>0，$$a + b<0，$

$ $所以原式$=-(a + c)-3(c - b)+[-2(a + b)]$

$ =-a - c - 3c + 3b - 2a - 2b$

$ =-3a + b - 4c$

$ (2)$当$a = - 6，$$b = - 4，$$c = 1$时，

$ $原式$=-3×(-6)+(-4)-4×1$

$ =18 - 4 - 4$

$ =10$

$(60x + 500m - 2mx)$

解$：(1)$当$0＜x≤40$时，总费用为$60x$元$；$

当$x＞40$时，总费用为$60×40+(x−40)×(60−10)=(50x+400)$元

$(2)② (60x+500m−2mx)−(50x+400)=60x+500m−2mx−50x−400=(10−2m)x+(500m−400).$

因为当$x＞40$时，无论$x$取什么值，都存在一个正整数$m，$使选择方案二的总费用始终比选择

方案一的总费用多某个固定值，

所以$10−2m=0，$

解得$m=5，$

此时$500m−400=500×5−400=2100.$

所以$m $的值是$5，$固定值是$2100$