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$ $解$：(1)2×7x=(4x - 1)\underline {+1}.$

$ (2)$去分母，得$2×7x=(4x - 1)+6.$

去括号，得$14x = 4x - 1 + 6.$

移项，得$14x - 4x=-1 + 6.$

合并同类项，得$10x = 5.$

$ $系数化为$1，$得$x=\frac {1}{2}$

解$： $解方程$\frac {4y - 1}{5}=\frac {2y + 1}{3}-0.6，$

去分母得：$3(4y - 1)=5(2y + 1)-9，$

去括号得：$12y - 3 = 10y + 5 - 9，$

移项得：$12y - 10y=5 - 9 + 3，$

合并同类项得：$2y=-1，$

$ $解得$y =-\frac {1}{2}.$

$ $因为$-\frac {1}{2}$与$-2$互为倒数，所以关于$x$的方程$\frac {x - m}{2}=x+\frac {m}{3}$的解为$x = -2.$

$ $把$x = -2$代入$\frac {x - m}{2}=x+\frac {m}{3}，$得$\frac {-2 - m}{2}=-2+\frac {m}{3}，$

去分母得：$3(-2 - m)=-12 + 2m，$

去括号得：$-6 - 3m=-12 + 2m，$

移项得：$-3m - 2m=-12 + 6，$

合并同类项得：$-5m=-6，$

$ $解得$m=\frac {6}{5}$

$\frac{12m}{20a + 19b}$

解$：(1)$设每台$B$型机器一天生产$x$个产品，则每台$A$型机器一天生产$(x+1)$个产品$.$

根据题意，得$\frac {5(x+1)−4}{8}=\frac {7x−1}{11}，$

解得$x=19，$

此时$\frac {7x−1}{11}=\frac {132}{11}=12.$

答$：$每箱能装$12$个产品