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解：$(1)$解关于$m $的方程$\frac {1}{2}(m - 16)=-5，$

$ m - 16 = -10$

$ m = 6。$

$ $解关于$x$的方程$2(x - 3)-n = 3，$

$ 2x - 6 - n = 3$

$ 2x = n + 9$

$ x = \frac {n + 9}{2}。$

根据题意，得$\frac {n + 9}{2}=6，$

$ n + 9 = 12$

$ n = 3。$

$ $所以$m $的值为$6，$$n$的值为$3。$

$ (2)$由$(1)，$得$AB = 6，$$\frac {AP}{PB}=3，$即$AP = 3PB。$

① 如图①，当点$P $在线段$AB$上时，$PB=\frac {1}{4}AB=\frac {1}{4}×6=\frac {3}{2}。$

$ $因为$Q $为$PB$的中点，所以$BQ=\frac {1}{2}PB=\frac {1}{2}×\frac {3}{2}=\frac {3}{4}。$

$ $所以$AQ = AB - BQ = 6 - \frac {3}{4}=\frac {21}{4}。$

② 如图②，当点$P $在线段$AB$的延长线上时，$PB=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×6 = 3。$

$ $因为$Q $为$PB$的中点，所以$BQ=\frac {1}{2}PB=\frac {1}{2}×3=\frac {3}{2}。$

$ $所以$AQ = AB + BQ = 6 + \frac {3}{2}=\frac {15}{2}。$

综上所述，线段$AQ $的长为$\frac {21}{4}$或$\frac {15}{2}。$