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解：​$(1)$​因为​$DF// AC，$​
所以​$∠CDF=∠ECD($​两直线平行，内错角相等）。
​$ $​因为​$∠CDF+∠CEG = 180°，$​
所以​$∠ECD+∠CEG = 180°。$​
​$ $​所以​$EG// CD($​同旁内角互补，两直线平行）。
​$ (2)$​因为​$DF// AC，$​
所以​$∠A=∠BDF($​两直线平行，同位角相等）。
​$ $​因为​$∠A = 40°，$​
所以​$∠BDF = 40°。$​
​$ $​因为​$DF $​是​$∠BDC$​的平分线，
所以​$∠BDC = 2∠BDF = 80°。$​
​$ $​由​$(1)$​知，​$EG// CD，$​
所以​$∠BGE=∠BDC = 80°($​两直线平行，同位角相等）。
42°或66°
解：(2)①当点$Q$在平行线$AB，$$CD$之间时，
设$∠PFQ = x。$
由折叠的性质，得$∠EFP = x。$
因为$∠CFQ=\frac{1}{2}∠PFC，$所以$∠PFQ=∠CFQ = x。$
因为$AB// CD，$所以$∠AEF+∠CFE = 180°，$
即$75°+x + x+x = 180°。$
$\begin{aligned}75°+3x&=180°\\3x&=180°-75°\\3x&=105°\\x&=35°\end{aligned}$
所以$∠EFP = 35°。$
②解：当点$Q$在$CD$的下方时，设$∠CFQ = y。$
因为$∠CFQ=\frac{1}{2}∠PFC，$所以$∠PFC = 2y。$
所以$∠PFQ = 3y。$
由折叠的性质，得$∠EFP=∠PFQ = 3y。$
因为$AB// CD，$所以$∠AEF+∠CFE = 180°，$
即$75°+2y+3y = 180°。$
$\begin{aligned}75°+5y&=180°\\5y&=180°-75°\\5y&=105°\\y&=21°\end{aligned}$
所以$∠EFP = 3y = 63°。$
综上所述，$∠EFP$的度数为$35°$或$63°。$
8
解：(2)因为$OC\perp OD，$所以$∠COD = 90°。$
由题意，得$20t + 90 = 120 + 5t$或$20t-90 = 120 + 5t。$
当$20t + 90 = 120 + 5t$时，
$\begin{aligned}20t-5t&=120 - 90\\15t&=30\\t&=2\end{aligned}$
当$20t-90 = 120 + 5t$时，
$\begin{aligned}20t-5t&=120 + 90\\15t&=210\\t&=14\end{aligned}$
所以当$t$的值为2或14时，射线$OC\perp OD。$
​$ (3)$​存在。
①当$OB$平分$∠COD$时，$∠COB=∠DOB，$即$120 - 20t = 5t，$
$\begin{aligned}20t+5t&=120\\25t&=120\\t&=4.8\end{aligned}$
②当$OC$平分$∠BOD$时，$∠COB=∠COD，$即$20t - 120 = 5t + 120 - 20t，$
$\begin{aligned}20t+20t-5t&=120 + 120\\35t&=240\\t&=\frac{48}{7}\end{aligned}$
③当$OD$平分$∠BOC$时，$∠DOB=∠DOC，$即$5t = 20t - 120 - 5t，$
$\begin{aligned}5t+5t-20t&=-120\\-10t&=-120\\t&=12\end{aligned}$
综上所述，当$t$的值为$4.8$或$\frac{48}{7}$或12时，射线$OC，$$OB，$$OD$中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线。
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