解：$(2)$设运动时间为$x$秒。
根据题意，得点$P $表示的数为$-20 + 4.5x，$点$Q $表示的数为$10 - 3x，$
$ $则$\vert (-20 + 4.5x)-(10 - 3x)\vert =\frac {1}{3}×\vert (-20)-10\vert 。$
整理，得$\vert 7.5x - 30\vert = 10。$
$ $从而$7.5x - 30 = 10$或$7.5x - 30 = -10。$
$ $当$7.5x - 30 = 10$时，
$ \begin {aligned}7.5x&=10 + 30\\7.5x&=40\\x &=\frac {16}{3}\end {aligned}$
$ $当$7.5x - 30 = -10$时，
$ \begin {aligned}7.5x&=-10 + 30\\7.5x&=20\\x &=\frac {8}{3}\end {aligned}$
$ $所以运动时间为$\frac {16}{3}$秒或$\frac {8}{3}$秒。
$ (3)$能。
$ $点$P，$$Q $相遇时，点$M$表示的数为$-20 + 4×4.5=-2($当$P，$$Q $两点
重合时，线段$PQ $的中点$M$也与$P，$$Q $两点重合$)。$
$ $设从点$P，$$Q $相遇起经过的运动时间为$t_{秒时}，$点$M$与原点重合。
$ ①$当点$P，$$Q $均沿数轴的正方向运动时，$\frac {(-2 + 4.5t)+(-2 + 3t)}{2}=0，$
$ \begin {aligned}-2 + 4.5t-2 + 3t&=0\\7.5t&=4\\t &=\frac {8}{15}\end {aligned}$
$ $此时点$M$能与原点重合，它沿数轴的正方向运动，
运动速度为每秒$2\div \frac {8}{15}=\frac {15}{4}($个$)$单位长度。
$ ②$当点$P $沿数轴的正方向运动，
点$Q $沿数轴的负方向运动时，$\frac {(-2 + 4.5t)+(-2 - 3t)}{2}=0，$
$ \begin {aligned}-2 + 4.5t-2 - 3t&=0\\1.5t&=4\\t &=\frac {8}{3}\end {aligned}$
$ $此时点$M$能与原点重合，它沿数轴的正方向运动，
运动速度为每秒$2\div \frac {8}{3}=\frac {3}{4}($个$)$单位长度。
$ ③$当点$P $沿数轴的负方向运动，
点$Q $沿数轴的正方向运动时，$\frac {(-2 - 4.5t)+(-2 + 3t)}{2}=0，$
$ \begin {aligned}-2 - 4.5t-2 + 3t&=0\\-1.5t&=4\\t &=-\frac {8}{3}\end {aligned}$
（不合题意，舍去），此时点$M$不能与原点重合。
$ ④$当点$P，$$Q $均沿数轴的负方向运动时，$\frac {(-2 - 4.5t)+(-2 - 3t)}{2}=0，$
$ \begin {aligned}-2 - 4.5t-2 - 3t&=0\\-7.5t&=4\\t &=-\frac {8}{15}\end {aligned}$
（不合题意，舍去），此时点$M$不能与原点重合。
综上所述，从点$P，$$Q $相遇起经过$\frac {8}{15}$秒，点$M$与原点重合，点$M$的运
动方向为数轴的正方向，运动速度为每秒$\frac {15}{4}$个单位长度；或从点
$P，$$Q $相遇起经过$\frac {8}{3}$秒，点$M$与原点重合，点$M$的运动方向为数轴的正
方向，运动速度为每秒$\frac {3}{4}$个单位长度。
