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解：过点​$O$​作​$OC⊥AB$​于点​$C$​
∵​$OA=OB=AB= 6$​
∴​$∆OAB$​是等边三角形
∴​$∠AOB=∠OAC=60°，$​​$∠OCA=90°$​
∴​$AC=\frac 12AB=3$​
∴​$OC= \sqrt {6^2-3^2}= 3\sqrt 3$​
∴圆心角​$∠AOB$​的度数为​$60°，$​
点​$O$​到​$AB$​的距离为​$ 3\sqrt 3$​
解：​$(1)∆DOE$​为等边三角形
∵​$∆ABC$​为等边三角形
∴​$∠B=∠C= 60°$​
∵​$OB =OC=OD=OE$​
∴​$∆OBD，$​​$∆OEC$​均为等边三角形
∴​$∠BOD=∠COE=60°，$​​$∠DOE= 60°$​
∵​$OD=OE$​
∴​$∆ODE$​为等边三角形
​$(2)$​成立
∵​$∠A=60°$​
∴​$∠B+∠C=120°$​
∵​$OB=OD，$​​$OC=OE$​
∴​$∠ODB=∠B，$​​$∠OEC=∠C$​
∴​$∠ODB+∠OEC=∠B+∠C=120°$​
∵​$∠ADO=180°-∠ODB，$​​$∠AEO=180°-∠OEC$​
∴​$∠ADO+∠AEO=360°-(∠ODB+∠OEC)=240°$​
∵​$∠A+∠ADO+∠AEO+∠DOE=360°$​
∴​$∠DOE=60°$​
∵​$OD =OE$​
∴​$∆DOE$​为等边三角形
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