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解：∵​$P A、$​​$P B$​是​$\odot O$​的切线
∴​$P A=P B$​
∴​$∠P AB= \frac 12(180°-∠P)$​
∵​$∠P AO=∠P BO= 90°$​
∴​$∠P=180°-∠AOB$​
∴​$∠AOB=180°-∠P$​
∵​$∠P AB= \frac 12×(180°-∠P)$​
∴​$∠AOB=2∠P AB$​

解：​$(1)EF $​是​$⊙O$​的切线，理由如下：
过点​$O$​作​$OG⊥EF，$​垂足为​$G$​
∵​$AC$​是​$⊙O$​的切线，切点为​$A$​
∴​$∠OAE=90°$​
∵​$OG⊥EF，$​∴​$∠EGO=90°$​
∴​$∠OAE=∠EGO$​
又∵​$EO$​平分​$∠AEF，$​∴​$∠AEO=∠GEO$​
在​$∆AEO$​和​$∆GEO$​中
​$\begin {cases}{∠OAE=∠EGO}\\{OE=OE}\\{∠AEO=∠GEO}\end {cases}$​
∴​$∆AEO≌∆GEO，$​∴​$OA=OG$​
∴点​$G $​在​$⊙O$​上，​$EF $​是​$⊙O$​的切线
​$(2)$​过点​$E$​作​$EH⊥BF，$​垂足为​$H$​
∵​$EH⊥BF，$​∴​$∠BHE=∠FHE=90°$​
∵​$AC、$​​$BD、$​​$EF $​是​$⊙O$​的切线
∴​$EF=AE+BF=13，$​且​$∠OAE=∠OBF=90°$​
∴四边形​$AEHB$​为矩形
∴​$BH=AE=4$​
∵​$BF=9$​
∴​$HF=BF-BH=9-4=5$​
在​$Rt∆EHF {中}，$​​$EH^2=EF^2-HF^2=13^2-5^2=144$​
∴​$EH=AB=12$​
∴​$OA=OB=6$​
∴​$⊙O$​的半径为​$6$​
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