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解：​$(1)$​列表如下

共有​$36$​种等可能的结果，其中字母相同的有​$16$​种
∴甲获胜的概率为​$ P=\frac {16}{36}=\frac 49$​
字母不相同的有​$20$​种，则乙获胜的概率为​$ P=\frac {20}{36}=\frac 59$​
​$(2)$​设第二枚正方体有​$x$​个面标记字母​$A，$​则有​$(6-x)$​个面标记字母​$B，$​
则​$(A，$​​$A)$​出现的结果数为​$4x，$​​$(B，$​​$B)$​出现的结果数为​$2(6-x)，$​
​$(A，$​​$B)$​出现的结果数为​$4(6-x)，$​​$(B，$​​$A)$​出现的结果数为​$2x$​
要使两人获胜的概率相等，则​$P($​甲获胜​$)=P($​乙获胜​$)= \frac 12$​
∴​$P($​甲获胜​$)= \frac {4x+2(6-x)}{36}=\frac 12$​
解得​$x=3$​
故要使两人获胜的概率相等，则第二枚正方体要有​$3$​个面标记为字母​$A$​
解：过点​$O$​作​$OF⊥AC$​于​$F ，$​连接​$OC$​
∵​$CD⊥AB$​
∴​$BC= BD，$​​$∠BEC=90°$​
∴​$BC=BD=1，$​​$∠D=∠BCE=30°$​
∴​$∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE= 60°$​
∵​$OB=OC $​
∴​$∆OBC$​是等边三角形
∴​$OB=OC=BC=1 ，$​​$∠BOC=60°$​
∴​$∠AOC=180°-∠BOC=180° -60°=120°$​
∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径
∴​$∠ACB= 90°$​
∴​$∠BAC+∠ABC= 90°$​
∴​$∠BAC= 90°-∠ABC =90°-60°=30°$​
∵​$OA=OC，$​​$OC=OB=1 $​
∴​$OA=OB=1$​
∴​$AB=OA+OB=1+1=2$​
∴​$ AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 3$​
∵​$OF⊥AC$​
∴​$∠OF A=90°$​
∴​$ OF=\frac 12OA=\frac 12$​
∴​$ S_{阴影}=S_{扇形}-S_{∆OAC}$​
​$ =\frac {120π×OC^2}{360}-\frac 12×AC×OF$​
​$ =\frac 13π-\frac {\sqrt 3}4$​

解：​$(1)∠ODF $​与​$∠OF D$​相等，理由如下 
∵​$OD⊥AC，$​​$ EF⊥AB$​
∴​$∠ADO=∠EFO= 90°$​
在​$∆AOD$​和​$∆EOF {中}$​
​$\begin {cases}∠ADO=∠EFO\\∠AOD= ∠EOF\\OA=OE\end {cases}$​
∴​$∆AOD≌∆EOF(\mathrm {AAS})$​
∴​$OD=OF，$​∴​$∠ODF=∠OF D$​
​$(2)GE$​与​$\odot O$​的位置关系是相切，理由如下 
∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径
∴​$∠ACB=90°，$​​$OA=OB=OF+BF$​
∴​$∠ADO=∠ACB =90°$​
∴​$DE//CG，$​∴​$∠ODF=∠BGF$​
∵​$∠OF D=∠BFG，$​​$∠ODF=∠OF D$​
∴​$∠BFG=∠BGF，$​∴​$BF= BG$​
∵​$OD⊥ AC，$​∴​$AD=DC$​
∴​$OD$​是​$∆ABC$​的中位线
∴​$BC=2OD$​
∵​$OA=OE，$​​$OD=OF$​
∴​$DE=OE+OD=OA+OD= BF+OF+OD$​
​$= BG+OD+OD=BG+BC=CG$​
∴四边形​$CDGE$​是平行四边形
∵​$∠C=90°$​
∴四边形​$CDEG $​是矩形
∴​$∠OEG= 90°，$​∴​$OE⊥GE$​
而​$OE$​是​$\odot O$​的半径
∴​$GE$​与​$\odot O$​相切
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