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$ (1) $证明：∵$BD，$$CE$是$\triangle ABC$的高

∴$∠ADB=∠AEC = 90°$

$ $在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中

$ \begin {cases}∠ADB=∠AEC\\AD = AE\\∠A=∠A\end {cases}$

∴$\triangle ABD≌\triangle ACE(\mathrm {ASA})$

$ (2)$解：$ ∠1=∠2$

理由：∵$\triangle ABD≌\triangle ACE$

∴$AB = AC，$$∠ABD=∠ACE$

又∵$AB = AC，$∴$∠ABC=∠ACB$

∴$∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，$即$∠1=∠2$

解：方案一：∵$AB\perp BM，$$DE\perp BM$

∴$∠ABC=∠EDC = 90°$

$ $在$\triangle ABC$和$\triangle EDC$中

$ \begin {cases}∠ABC=∠EDC\\BC = CD\\∠ACB=∠ECD\end {cases}$

∴$\triangle ABC≌\triangle EDC(AS A)$

∴$AB = DE$

方案二：在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中

$ \begin {cases}AC = CD\\∠ACB=∠DCE\\BC = CE\end {cases}$

∴$\triangle ABC≌\triangle DEC(S AS)$

∴$AB = DE$