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证明：连接​$AD$​
∵​$AB = AC，$​​$D$​为​$BC$​的中点
∴​$AD$​平分​$∠BAC$​
又∵​$DE\perp AB，$​​$DF\perp AC$​
∴​$DE = DF$​
​$ (1)$​证明：∵​$AD$​平分​$∠BAC，$​​$∠C = 90°，$​​$DE\perp AB$​
∴​$DC = DE$​
​$ $​在​$Rt\triangle DCF $​和​$Rt\triangle DEB$​中
​$ \begin {cases}DC = DE\\DF=DB\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle DCF≌ Rt\triangle DEB(\mathrm {HL})$​
∴​$CF = EB$​
​$ (2)$​解：​$AE=AF + BE$​
理由：∵​$AD$​平分​$∠BAC，$​∴​$∠CAD=∠EAD$​
在​$Rt△ACD$​和​$Rt△AED$​中
​$\begin {cases}{DC=DE}\\{AD=AD}\end {cases}$​
∴​$\triangle ACD≌\triangle AED(\mathrm {HL})$​
∴​$AC = AE$​
又∵​$AC=AF + CF，$​且​$CF = EB$​
∴​$AE=AF + BE$​
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