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$ (1)$证明：∵$\triangle ABC$是等边三角形

∴$∠ABC=∠ACB = 60°，$$AB = AC$

∴$∠DBP = 180°-∠ABC=120°，$

$∠P CE = 180°-∠ACB = 120°$

∴$∠DBP=∠P CE$

∵$P A = P D = PE$

∴$∠P AD=∠P DA，$$∠P AE=∠PEA$

∴$∠PDB+∠PEC=∠PAD+∠PAE=60°$

∵$∠CPE+∠PEC=180°-∠PCE=60°$

∴$∠BDP=∠CPE$

$ $在$\triangle BDP $和$\triangle CPE$中

$\begin {cases}∠DBP=∠P CE\\∠BDP=∠CPE\\P D = PE\end {cases}$

∴$\triangle BDP≌\triangle CPE(\mathrm {AAS})$

$ (2)$解：存在

∵$\triangle BDP≌\triangle CPE$

∴$BD = CP$

$ \triangle BDP $的周长$=BD + BP + DP=CP + BP + DP=BC + DP$

∵$BC = 10，$∴当$DP $最小时，$\triangle BDP $的周长最小

∵$P A = P D$

∴当$AP\perp BC$时，$AP {最小}，$即$DP $最小

∵$\triangle ABC$是等边三角形，$AP\perp BC$

∴$BP=\frac 12BC = 5$

$ $即当$BP = 5$时，$\triangle BDP $的周长最小