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证明：​$(1)$​在​$\triangle ABE$​和​$\triangle DCE$​中
​$\begin {cases}{∠A = ∠D}\\{ AE = DE}\\{ ∠AEB = ∠DEC}\end {cases}$​
∴​$\triangle ABE≌\triangle DCE(AS A)$​
​$ (2)$​由​$(1)$​知​$\triangle ABE≌\triangle DCE$​
∴​$BE = CE$​
又∵​$EF\perp BC，$​∴​$F $​为边​$BC$​的中点
​$(1)$​证明：在​$△ABC$​和​$△EDC$​中
​$ \begin {cases}{AC=EC}\\{∠ACB=∠ECD}\\{BC=DC}\end {cases}$​
∴​$△ABC≌△ EDC(S AS)$​
∴​$∠A=∠E，$​∴​$AB//DE$​
​$(2)$​由​$(1)$​得​$∠A=∠E，$​​$ED=AB=4\ \mathrm {cm}$​
在​$△ACP $​和​$△ECQ {中}$​
​$ \begin {cases}{∠A=∠E}\\{AC=CE}\\{∠ACP=∠ECQ}\end {cases}$​
∴​$△ACP≌△ ECQ(AS A)$​
∴​$AP=EQ$​
当​$0≤t≤\frac 43$​时，​$3t=4-t，$​解得​$t=1$​
当​$\frac 43＜t≤\frac 83$​时，​$8-3t=4-t，$​解得​$t=2$​
综上所述，当线段​$PQ {经过点}C$​时，​$t $​的值为​$1\ \mathrm {s} {或2}\ \mathrm {s}$​
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