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解：​$(1)$​∵​$MN$​是​$AB$​的垂直平分线
∴​$AD = BD$​
​$ \triangle BCD$​的周长​$= BC + CD + BD $​
​$= BC + CD + AD = BC + AC$​
∵​$AC = 15，$​​$\triangle BCD$​的周长等于​$25$​
∴​$BC = 10$​
​$ (2)$​∵​$AB = AC，$​​$∠A = 36°$​
∴​$∠ABC=∠ACB=\frac 12(180°-∠A)=72°$​
∵​$MN$​是​$AB$​的垂直平分线
∴​$AD = BD，$​则​$∠ABD=∠A = 36°$​
∴​$∠CBD=∠ABC-∠ABD = 72°-36°=36°$​
解：​$(1)$​∵​$DM$​垂直平分​$AC，$​∴​$MA = MC$​
∵​$EN$​垂直平分​$BC，$​∴​$NB = NC$​
​$ \triangle CMN$​的周长​$=CM + MN + CN$​
​$= AM + MN + NB = AB=10$​
​$ (2)$​∵​$∠MFN = 65°$​
∴​$∠FMN+∠FNM = 180°-∠MFN=115°$​
∴​$∠AMD+∠BNE = 115°$​
∵​$MD⊥AC，$​​$EN⊥BC$​
∴​$∠A+∠B=180°-(∠AMD+∠BNE)=65°$​
又∵​$MA = MC，$​​$NB = NC$​
∴​$∠A=∠ACM，$​​$∠B=∠BCN$​
∴​$∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=65°$​
∵​$∠ACB = 180°-(∠A+∠B)$​
∴​$∠MCN = 180°-2(∠A+∠B)=50°$​
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