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​$(1)$​证明：连接​$ME，$​​$MD$​
∵​$CD，$​​$BE$​分别是​$AB，$​​$AC$​边上的高
∴​$∠CDB=∠BEC=90°$​
∵​$M$​是​$BC$​的中点
∴在​$Rt\triangle BEC$​中，​$ME=\frac 12BC$​
∴在​$Rt\triangle BDC$​中，​$MD=\frac 12BC$​
∴​$ME = MD$​
又∵​$N$​是​$DE$​的中点，∴​$MN\perp DE$​
​$(2)$​解：​$MN=\frac 12DE$​
∵​$ME=CM，$​​$DM=BM$​
∴​$∠MEC=∠ACB，$​​$∠MDB=∠ABC$​
∴​$∠DMB=180°-∠DMC=180°-2∠ABC，$​
​$∠EMC=180°-∠EMB=180°-2∠ACB$​
∴​$∠DMB+∠EMC=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB$​
​$=360°-2(∠ACB+∠ABC)$​
∵​$∠A=45°，$​∴​$∠ACB+∠ABC=135°$​
∴​$∠DMB+∠EMC=360°-2×135°=90°$​
∴​$∠DME=180°-(∠DME+∠EMC)=90°$​
∴​$△DME$​是等腰直角三角形
∵点​$N$​是​$DE$​的中点
∴​$MN=\frac 12DE$​
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