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解：①∵​$AD⊥BC，$​且​$∠B=45°，$​∴​$AD=x$​
∵​$AD^2+BD^2=AB^2，$​∴​$x^2+x^2=6^2，$​∴​$x=\sqrt {18}$​
∵​$∠C=60°，$​∴​$∠DAC=30°，$​∴​$AC=2CD=2y$​
∵​$AD^2+CD^2=AC^2，$​∴​$(\sqrt {18})^2+y^2=(2y)^2$​
∴​$y=\sqrt 6$​
②∵​$∠BDC=60°，$​​$∠C=90°，$​∴​$∠CBD=30°$​
∴​$BD=2CD=4，$​∴​$BC=\sqrt {BD^2-CD^2}=\sqrt {12}$​
∵​$∠A=45°，$​∴​$AC=BC，$​∴​$y=\sqrt {12}-2$​
∴​$x^2=BC^2+AC^2，$​∴​$x=\sqrt {24}$​
③∵​$∠A=90°，$​​$∠ADB=45°，$​∴​$AB=AD=6$​
∴​$x^2=AB^2+AD^2，$​∴​$x=\sqrt {72}$​
∵​$AB^2+AC^2=BC^2，$​∴​$6^2+(6+y)^2=10^2$​
解得​$y=2$​
解：设直角三角形的斜边为$c。$
根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}。$
又因为直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch，$所以$ab = ch，$即$c=\frac{ab}{h}。$
将$c=\frac{ab}{h}$代入$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$可得$\frac{ab}{h}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}。$
两边同时平方得$\frac{a^{2}b^{2}}{h^{2}}=a^{2}+b^{2}。$
两边同时除以$a^{2}b^{2}$得$\frac{1}{h^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}，$即$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{h^{2}}。$
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