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解：$(1)$由勾股定理可得

$AB=\sqrt {1^2+5^2}=\sqrt {26}，$$BC=\sqrt {4^2+2^2}=\sqrt {20}$

$CD=\sqrt {1^2+2^2}=\sqrt 5，$$DA=\sqrt {1^2+4^2}=\sqrt {17}$

$C_{四边形ABCD}=AB + BC + CD + DA$

$=\sqrt {26}+\sqrt {20}+\sqrt 5+\sqrt {17}$

$(2)\triangle ABC$不是直角三角形

理由：$AC^2=3^2+5^2=34$

∵$AB^2=26，$$BC^2=20，$$AC^2=34$

∴$AB^2+BC^2≠AC^2$

∴$△ABC$不是直角三角形

解：在$\triangle ABC$中，$∠ABC = 90°，$$AC = 10，$$BC = 6$

∴$AB=\sqrt {AC^2-BC^2}=\sqrt {10^2-6^2}=8$

过点$D$作$DE\perp AC$于点$E$

∵$CD$平分$∠ACB，$$∠ABC = 90°，$$DE\perp AC$

∴$DE = BD$

∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}$

∴$\frac 12\ \mathrm {A}B·BC=\frac 12\ \mathrm {A}C·DE+\frac 12BC·BD=\frac 12BD· (AC+BC)$

$\frac 12×8×6=\frac 12×BD×(10+6)$

∴$BD=3，$∴$AD=AB-BD= 5$