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解：​$(1)$​图象如图所示
​$ (2)$​图象法：
​$ $​当​$y = 2$​时，在​$y=\frac 54x$​图象上对应的​$x$​值大于​$y = 2x$​图象上对应的​$x$​值，
​$y = 2x$​图象上对应的​$x$​值大于​$y = 5x$​图象上对应的​$x$​值
计算法：当​$y = 2$​时，
​$ $​对于​$y=\frac 54x，$​解得​$x=\frac 85；$​
​$ $​对于​$y = 2x，$​​$2 = 2x，$​解得​$x = 1；$​
​$ $​对于​$y = 5x，$​​$2 = 5x，$​解得​$x=\frac 25。$​
​$ $​所以​$\frac 85＞1＞\frac 25，$​即​$x_{y=\frac 54x}＞x_{y=2x}＞x_{y=5x}$​
​$ (3)$​小明的说法正确
理由：在正比例函数​$y = kx(k＞0)$​中，​$\vert k\vert $​越大，
函数值​$y$​随​$x$​的增大而增大得越快，
∵​$\vert 5\vert ＞\vert 2\vert ＞\vert \frac 54\vert$​
∴随着自变量​$x$​的增大，函数​$y = 5x$​的函数值增加得最快
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