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$解：AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5cm$
$由题意得半径r的取值范围为4cm＜r＜5cm$
证明：取​$AB$​的中点​$E，$​连接​$CE、$​​$DE$​
∵​$AC⊥BC、$​​$AD⊥BD$​
∴​$△ABC$​和​$△ABD$​是直角三角形
∵点​$E$​是斜边的中点
∴​$ AE=BE=\frac 12AB=DE=CE$​
∴​$A、$​​$B、$​​$C、$​​$D$​在同一个圆上

解：活动区域如图所示

​$ \frac {90π×6^2}{360}+\frac {90π×3^2}{360}=\frac {45}4π(\mathrm {m^2})$​
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