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解​$： (1)$​过​$O$​点作​$OE⊥AB ，$​交圆​$O$​于​$D ，$​连接​$AO$
​
∴​$ AE= BE=\frac 12AB=4，$​​$OE= 3$​
在​$Rt△AHE$​中，​$AO= \sqrt {AE^2+OE^2} =5$​
​$(2)$​如图：​$OD=OA=OB=5，$​​$OE⊥AB，$​​$ OE= 3$​
∴​$DE=OD -OE=5-3 =2\ \mathrm {cm}$​
∴点​$D$​是圆上到​$AB$​距离为​$2\ \mathrm {cm} $​的点
∵​$OE = 3\ \mathrm {cm} >2\ \mathrm {cm}$​
∴在​$OD$​上截取​$OH = 1\ \mathrm {cm}$​
过点​$H$​作​$GF//AB ，$​交圆于点​$G ，$​​$ F $​两点，
则有​$HE⊥ AB ，$​​$ HE=OE-OH = 2\ \mathrm {cm}$​
即​$GF $​到​$AB$​的距离为​$2\ \mathrm {cm}，$​
∴点​$G 、$​​$ F $​也是圆上到​$AB$​距离为​$2\ \mathrm {cm} $​的点
∴圆​$O$​上到直线​$l$​的距离为​$2$​的点有​$3$​个。
解​$： (1)$​过​$C$​作​$CD⊥AB$​于​$D$​

∵在​$Rt△ ABC$​中，​$AB = 4\ \mathrm {cm}，$​​$AC = 2\ \mathrm {cm}$​
∴​$BC=\sqrt {AB^2- AC^2} = 2\sqrt 3\ \mathrm {cm}$​
∴​$CD=\frac {AC×BC}{AB}=\sqrt 3\ \mathrm {cm}$​
即以​$C$​为圆心作圆，当半径为​$\sqrt 3\ \mathrm {cm} $​时，​$ AB$​与圆​$C$​相切
​$(2)$​∵以​$C$​为圆心作圆，当半径为​$\sqrt 3\ \mathrm {cm} $​时，​$AB$​与​$C$​相切
又∵​$1<\sqrt 3<2，$​
∴以​$C$​为圆心，分别以​$1\ \mathrm {cm} $​和​$2\ \mathrm {cm} $​的长为半径作两个圆，
这两个圆与​$AB$​的位置关系位置关系分别为相离、相交
解​$： (1)$​作​$MN⊥OA$​于​$N ，$​如图，

∵​$∠AOB= 30°$​
∴​$MN=\frac 12OM=\frac 12×5=2.5$​
∴当​$r =2.5$​时，​$ M$​与射线​$OA$​只有一个公共点；
当​$0＜r＜2.5$​时，​$M$​与射线​$OA$​没有公共点；
当​$2.5＜r\leqslant 5$​时，​$M$​与射线​$OA$​有两个公共点；
当​$r >5$​时，​$ M$​与射线​$OA$​只有一个公共点
​$(2)ON=\sqrt {OM^2- MN^2}= \frac {5\sqrt 3}2＜5\sqrt {3}，$​
∴当​$0＜r＜2.5$​时，​$M$​与线段​$OC$​没有公共点；
当​$r=2.5$​时，​$M$​与线段​$OC$​有一个公共点；
当​$2.5＜r\leqslant 5$​时，​$M$​与线段​$OC$​有两个公共点；
当​$r＞5$​时，​$M$​与线段​$OC$​没有公共点​$.$​
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