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解：连接​$OP$​
​$ $​若​$BP $​与圆​$O$​相切，则​$OP⊥PB$​
∵​$AB=OA，$​​$OA=OP$​
∴​$OB=2OP，$​​$∠OPB= 90°$​
∴​$∠B= 30° $​
∴​$∠POB=60°$​
∵​$OA=3\ \mathrm {cm}$​
​$ \widehat {AP}=\frac {60×π×3}{180}=π\mathrm {cm}$​
∵圆的周长为​$2×π×3=6π\mathrm {cm}$​
∴当​$t= 1s{或5}s $​时，有​$BP $​与圆​$O$​相切

证明：​$ $​连接​$OE ， DE$​
∵​$CD$​是圆​$O$​的直径
∴​$∠AED =∠CED =90° $​
∵​$G $​是​$Rt△AED$​的斜边中点
∴​$EG=\frac 12AD= DG$​
∴​$∠1 =∠2$​
∵​$OE= OD $​
∴​$∠3 =∠4$​
∴​$∠1+∠3 =∠2+∠4$​
∴​$∠OEG=∠ODG = 90°$​
故​$GE$​是圆​$O$​的切线
解：如图所示，
当与​$PA$​相切时，切点记作点​$C，$​与​$PB$​的切点记作点​$D$​

∵圆​$O$​与​$PA$​相切，与​$PB$​相切
∴​$∠PCO=∠PDO=90°$​
∵​$OC=OD$​
∴​$OP $​是​$∠APB$​的角平分线
∴​$ ∠OPD=\frac 12∠APB=30°$​
∴​$OP=2OD=2$​
在​$Rt△POD$​中，​$ PD=\sqrt {PO^2-OD^2}=\sqrt {3}，$​
即圆心​$O$​移动的距离为​$ \sqrt {3}$​
解：作​$∠ABC、$​​$∠ACB$​的角平分线，相交于点​$D，$​
则点​$D$​即为亭子应修建的位置
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