第23页

【解析】：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识点。
首先，根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，所以$DE = DF$。
然后，考虑点$D$到线段$EF$两端点的距离。
在$Rt\bigtriangleup AED$和$Rt\bigtriangleup AFD$中，$AD$是公共边，$DE = DF$，根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理，可得$Rt\bigtriangleup AED\cong Rt\bigtriangleup AFD$，所以$AE = AF$。
接着，根据线段垂直平分线的判定定理，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因为$DE = DF$，$AE = AF$，所以点$D$和点$A$都在线段$EF$的垂直平分线上。
而两点确定一条直线，所以直线$AD$是线段$EF$的垂直平分线。
【答案】：
证明：
∵$AD$是$\bigtriangleup ABC$的角平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
∴$DE = DF$（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
在$Rt\bigtriangleup AED$和$Rt\bigtriangleup AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DE = DF\end{array}\right.$
∴$Rt\bigtriangleup AED\cong Rt\bigtriangleup AFD(HL)$，
∴$AE = AF$。
∵$DE = DF$，$AE = AF$，
∴直线$AD$是线段$EF$的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。