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成立，证明如下：
已知在$\triangle ABC$中，$\angle B = \angle C，$求证$AB = AC。$
作$\angle BAC$的平分线$AD，$则$\angle BAD = \angle CAD。$
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\because \angle B = \angle C，$$\angle BAD = \angle CAD，$$AD = AD，$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$（AAS），
$\therefore AB = AC。$
解
（1）​$\triangle ABC$​是等腰三角形，理由如下：
​$∵∠B = ∠C$​，
根据“等角对等边”，
​$∴AB = AC$​。
​$∴\triangle ABC$​是等腰三角形。
（2）​$\triangle ADE$​是等腰三角形，理由如下：
​$∵AB = AC$​，​$AD\perp BC$​，
​$∴$​根据等腰三角形的性质，可得​$∠1 = ∠2$​。
又​$∵DE// AB$​，
​$∴∠1 = ∠3$​。
​$∴∠2 = ∠3$​。
根据“等角对等边”，可得​$AE = DE$​。
​$∴\triangle ADE$​是等腰三角形。
两个角相等
AB
AC
B
D
$90^{\circ}$
$4$
(1)设等腰三角形的顶角为$x$，则底角为$\frac{x}{2}$。
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$x + 2×\frac{x}{2}=180^{\circ}$，
即$x + x=180^{\circ}$，$2x=180^{\circ}$，解得$x = 90^{\circ}$。
(2)因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABO=\angle EBO$。
又因为$OE// AB$，所以$\angle ABO=\angle EOB$，故$\angle EBO=\angle EOB$，所以$OE = BE$。
同理，$CO$平分$\angle ACB$，$OF// AC$，可得$\angle FCO=\angle FOC$，所以$OF = CF$。
则$\triangle OEF$的周长为$OE + EF + OF=BE + EF + CF=BC=4$。
答案：(1)$90^{\circ}$；(2)$4$。
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