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解：​$(1) $​由题意，购买黄瓜需支付​$30a$​元，购买白菜需支付​$50b$​元
∴共需支付​$(30a + 50b)$​元。
​$ (2) $​用​$x\mathrm {km/h }$​表示小明步行的速度，用​$y\mathrm {km/h }$​表示小亮步行的速度
则​$5x + 3y$​表示小明步行​$5\ \mathrm {h} $​和小亮步行​$3\ \mathrm {h} $​的路程之和
解：​$ (1) $​甲方案：​$0.8×30x = 24x($​元​$)$​
乙方案：​$(x + 5)×0.75×30 = 22.5x + 112.5($​元​$)$​
∴甲方案需支付的费用为​$24x$​元，乙方案需支付的费用为​$(22.5x + 112.5)$​元
​$ (2) $​当​$x = 70$​时，甲方案：​$24×70 = 1680($​元​$)$​
乙方案：​$22.5×70 + 112.5 = 1687.5($​元​$)$​
∵​$1680 ＜ 1687.5，$​∴选择甲方案合算
​$ (3) $​当​$x = 100$​时，甲方案：​$24×100 = 2400($​元​$)$​
乙方案：​$22.5×100 + 112.5 = 2362.5($​元​$)$​
∵​$2362.5 ＜ 2400，$​∴选择乙方案合算
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解：​$(1)$​由题意，一边长为​$a\mathrm {cm}，$​则另一边长为​$(20-a)\mathrm {cm}$​
∴这个长方形的面积为：​$a(20-a)\mathrm {cm}^2$​
​$(3)a$​取什么值时，长方形的面积最大?
​$a$​取​$10$​时，长方形的面积最大，这时长方形是正方形
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解：(1)由题意，一边长为$a\ \mathrm {cm}，$则另一边长为$(20-a)\ \mathrm {cm}$
所以这个长方形的面积为：$a(20-a)\ \mathrm {cm}²$
(3)a取什么值时，长方形的面积最大?
a取10时，长方形的面积最大，这时长方形是正方形
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