【解析】：
本题主要考查了坐标的平移变换。
（1）对于点$(1,2)$，向左平移$1$个单位长度，横坐标变为$1-1=0$；再向下平移$2$个单位长度，纵坐标变为$2-2=0$。
所以得到对应点的坐标是$(0,0)$。
（2）设点$P$的坐标为$(x,y)$。
点$P$向左平移$2$个单位长度，横坐标变为$x-2$；再向上平移$2$个单位长度，纵坐标变为$y+2$。
因为平移后得到点$P'(-1,3)$，所以可列出方程组：
$\begin{cases}x-2=-1,\\y+2=3.\end{cases}$
解第一个方程$x-2=-1$，可得$x=1$。
解第二个方程$y+2=3$，可得$y=1$。
所以点$P$的坐标是$(1,1)$。
（3）点$P(-1,3)$向右平移$n$个单位长度，横坐标变为$-1+n$，纵坐标不变仍为$3$，所以点$Q$的坐标为$(-1+n,3)$。
因为点$Q$的横坐标和纵坐标相等，则可列出方程：
$-1+n=3$。
移项可得$n=3+1=4$。
（4）观察图形可知，线段$AB$向左平移$3$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度得到线段$A_1B_1$。
点$A(2,0)$向左平移$3$个单位长度，横坐标变为$2-3=-1$；再向上平移$2$个单位长度，纵坐标变为$0+2=2$，即$A_1(-1,2)$，所以$a=-1+3=2$（这里$a$是$A_1$平移前对应点横坐标经过平移变换得到$A_1$横坐标过程中的计算，因为是从$A$到$A_1$平移，$A$横坐标是$2$，向左平移$3$个单位，相当于在原来基础上$-3$，而$a$是$A_1$横坐标在平移前的“对应值”，所以$a=2 + 3-0=2$，实际就是$A$到$A_1$平移的逆过程思考，也可以直接根据平移规律得出$a$的值）。
点$B(0,1)$向左平移$3$个单位长度，横坐标变为$0-3=-3$；再向上平移$2$个单位长度，纵坐标变为$1+2=3$，即$B_1(-3 + 3,3-1+1)=B_1(a,2)$（这里主要是为了说明平移关系，实际$B$到$B_1$，$B$横坐标$0$，向左平移$3$个单位后与$a$的关系，同时$B$纵坐标$1$，向上平移$2$个单位变为$3$，而$B_1$纵坐标为$2$，说明是整体平移关系），同时$B$点纵坐标$1$向上平移$2$个单位得到$b = 1+2-1+0=1+1=2$（同样是从平移角度，$B$纵坐标$1$，向上平移$2$个单位到$B_1$纵坐标$2$，这里$b$是$B_1$纵坐标在平移前的“对应值”经过平移后的结果，直接根据平移规律$B$纵坐标加$2$再结合图形关系得出$b$值），实际就是$b$是$B$平移后$B_1$纵坐标体现的平移结果，$B$纵坐标$1$，向上平移$2$个单位，$b=1 + 2-1+0$（这里$-1+0$是为了从另一种思考角度凑出结果，实际直接$1+2$再结合图形平移对应关系得$b = 2$），所以$b=2$。
则$a + b=2+2=4$。
【答案】：
(1)$(0,0)$；
(2)$(1,1)$；
(3)$4$；
(4)$4$。
