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​$ (1)$​解：当​$k = -2$​时，​$y_{1}=-2x + 2。$​
​$ $​因为​$y_{1}＞y_{2}，$​所以​$-2x + 2＞x - 3，$​
​$ $​移项得​$-2x - x＞-3 - 2，$​
​$ $​合并同类项得​$-3x＞-5，$​
​$ $​系数化为​$1$​得​$x＜\frac {5}{3}。$​

​$ (2)-4≤k≤1$​且​$k≠0$​
解：（1）甲旅行社的收费与学生人数的关系为：$y_{1} = 48x；$
乙旅行社的收费与学生人数的关系为：
当$x \leq 30$时，$y_{2} = 54x；$当$x ＞ 30$时，$y_{2} = 42x + 360。$
（2）当学生人数少于60人时，选择甲旅行社更合算；当学生人数等于60人时，两家旅行社收费相同；当学生人数超过60人时，选择乙旅行社更合算。
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