【解析】：本题考查全等三角形的判定定理。
题目给出了两个三角形$\bigtriangleup ABD$和$\bigtriangleup ACE$，其中$AB = AC$，$AD = AE$，需要找到一个条件使得这两个三角形全等。
A选项：$\angle B = \angle C$。
这个条件给出了两个三角形的两组对应边相等，但给出的角并不是这两组对应边的夹角，所以不能根据$SAS$（边角边）判定三角形全等。
同时，没有给出足够的信息来应用其他全等判定定理（如$SSS$，$ASA$，$AAS$等），因此A选项不能使$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACE$。
B选项：$\angle D = \angle E$。
与A选项类似，这个条件给出了两个三角形的两组对应边相等，但给出的角并不是对应边的夹角，所以不能根据$SAS$判定三角形全等。
同样，没有足够的信息来应用其他全等判定定理，因此B选项不能使$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACE$。
C选项：$\angle 1 = \angle 2$。
由于$\angle BAD = \angle 1 + \angle CAD$，$\angle CAE = \angle 2 + \angle CAD$，且$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle BAD = \angle CAE$。
现在，我们有了两组对应边相等（$AB = AC$，$AD = AE$）和它们之间的夹角相等（$\angle BAD = \angle CAE$），这满足$SAS$（边角边）判定定理。
因此，C选项可以使$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACE$。
D选项：$\angle CAD = \angle DAC$。
这个条件实际上是一个自明的事实，因为任何角都等于它自身。
它并没有提供任何新的信息来帮助我们判定两个三角形是否全等。
因此，D选项不能使$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACE$。
综上所述，只有C选项可以使$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACE$。
【答案】：C。
