零五网 › 全部参考答案› 学习与评价答案 › 苏科版八年级（初二）数学学习与评价答案（上下册） › 第135页

第135页

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解：如图所示：

解​$ ∶ $​连接​$ AC$​
∵​$△ABE≌△BCD$​
∴​$AB=BC$​，​$ AE=BD$​，​$ BE=CD$​，​$ ∠BAE=∠CBD$​
∵​$∠ABE+∠BAE=90°$​
∴​$∠ABE+∠CBD=90°$​
∴​$∠ABC=90°$​
∴​$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BDC}$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {B} D ·A E+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} D ·C D$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} E^2+\frac {1}{2}\ \mathrm {A} E ×B E$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} E^2+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} D ×B E$​
∵​$S_{四边形 ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ADC}$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ×B C+\frac {1}{2}\ \mathrm {C} D ×D E$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ×A B+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} E ×D E$​
​$=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B^2+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} E ×D E$​
∴​$\frac {1}{2}\ \mathrm {A} E^2+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} D ×B E=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B^2+\frac {1}{2}\ \mathrm {B} E ×D E$​
∴​$A B^2=B D ×B E-B E ×D E+A E^2$​
∴​$A B^2=B E ×(B D-D E)+A E^2$​
即​$ A B^2=B E^2+A E^2$​

$6^2 - 1$

$12$

$6^2 + 1$

$n^2 - 1$

$2n$

$n^2 + 1$

解：$ (3)$是直角三角形

理由 ∶∵$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2\ \mathrm {n})^2$

$=n^4-2n^2+1+4n^2$

$=(n^2+1)^2$

$=c^2$

故以$ a $、$ b $、$ c $为边的三角形是直角三角形

【解析】：
(1)观察表格，可以看到当$n=2$时，$a=2^2 - 1$，$b=4=2 × 2$，$c=2^2 + 1$；
当$n=3$时，$a=3^2 - 1$，$b=6=2 × 3$，$c=3^2 + 1$；
当$n=4$时，$a=4^2 - 1$，$b=8=2 × 4$，$c=4^2 + 1$；
依此类推，当$n=6$时，$a=6^2 - 1 = 35$，$b=2 × 6 = 12$，$c=6^2 + 1 = 37$；
所以当$n=5$时，$a=5^2 - 1 = 24$，$b=2 × 5 = 12 × 2 ÷ 2 = 10 × 2 ÷ (2 ÷ 1) = 2 × 5 = 10$（这里直接$2 × 5=10$即可，前面是冗余的计算过程，直接$b=2n$当$n=5$时就是$10$），$c=5^2 + 1 = 26$；
本题应填：24；12；37。
(2)根据上述规律，可以得出：
$a = n^2 - 1$，
$b = 2n$，
$c = n^2 + 1$；
本题答案为$n^2 - 1$；$2n$；$n^2 + 1$。
(3)为了证明以$a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形，需要验证是否满足勾股定理，即$a^2 + b^2 = c^2$。
根据
(2)中得出的代数式，有：
$a^2 + b^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2$
$= n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2$
$= n^4 + 2n^2 + 1$
$c^2 = (n^2 + 1)^2$
$= n^4 + 2n^2 + 1$
由此可见$a^2 + b^2 = c^2$，
所以以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
【答案】：
(1) $24$；$12$；$37$
(2) $n^2 - 1$；$2n$；$n^2 + 1$
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明见上述解析过程。