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A
D
解：​$ (1) $​在​$Rt △ABC $​中，​$A C=\sqrt {A B^2-B C^2}=12$​
​$(2) $​由​$ \frac {1}{2}\ \mathrm {A} C ×B C=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} B ×C D$​
得​$ C D=\frac {60}{13}$​
解：设甲、乙相遇时，乙走了$3x$步，甲共走了$7x$步。
甲先向南走10步，则斜向北偏东方向走了$(7x - 10)$步。
乙向东走的距离为$3x$步，甲向南走的10步与乙向东走的$3x$步及甲斜走的$(7x - 10)$步构成直角三角形，其中甲斜走的距离为斜边。
根据勾股定理可得：$10^2 + (3x)^2 = (7x - 10)^2$
展开得：$100 + 9x^2 = 49x^2 - 140x + 100$
移项化简得：$40x^2 - 140x = 0$
即：$10x(4x - 14) = 0$
解得：$x_1 = 0$（舍去），$x_2 = 3.5$
所以甲走的步数为：$7x = 7×3.5 = 24.5$（步）
乙走的步数为：$3x = 3×3.5 = 10.5$（步）
答：甲走了$24.5$步，乙走了$10.5$步。
解：情况一：高$AD$在$\triangle ABC$内部
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$
$BC=BD+CD=16+5=21$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AD=\frac{1}{2}\times21\times12=126$

情况二：高$AD$在$\triangle ABC$外部
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$
$BC=BD-CD=16-5=11$
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AD=\frac{1}{2}\times11\times12=66$
综上，$\triangle ABC$的面积为$126$或$66。$
【解析】：
本题主要考查勾股定理以及三角形的性质。
在直角三角形中，如果$c$为斜边，那么有$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。但在锐角三角形中，由于所有的角都小于$90^\circ$，因此当$c$为最大边时，其对应的角必然小于$90^\circ$。根据余弦定理，我们有$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$。由于$C ＜ 90^\circ$，所以$\cos C ＞ 0$，从而得出$a^{2} + b^{2} ＞ c^{2}$。
接下来，我们逐一排除选项：
B选项$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，这是直角三角形的性质，与题目中的锐角三角形矛盾，所以B选项错误。
C选项$a^{2} + b^{2} ＜ c^{2}$，这通常表示$c$边对应的角大于$90^\circ$，与题目中的锐角三角形矛盾，所以C选项错误。
D选项$a^{2} + b^{2} = ac + bc$，这个等式无法直接由三角形的性质得出，且与勾股定理或余弦定理无直接关联，所以D选项错误。
因此，通过排除法以及利用余弦定理的理解，我们可以确定A选项$a^{2} + b^{2} ＞ c^{2}$是正确的。
【答案】：
A.$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$
解：设直角三角形斜边为c。
由勾股定理得：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，则$ab=ch$，$c=\frac{ab}{h}$。
将$c=\frac{ab}{h}$代入$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，得$a^{2}+b^{2}=(\frac{ab}{h})^{2}$。
等式两边同除以$a^{2}b^{2}$：$\frac{a^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}}{h^{2}a^{2}b^{2}}$，即$\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$。
答案：D
解：情况一：高AD在△ABC内部
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$
BC=BD+CD=16+5=21
S_{△ABC}=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×21×12=126$
情况二：高AD在△ABC外部
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16$
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$
BC=BD-CD=16-5=11
S_{△ABC}=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×11×12=66$
综上，△ABC的面积为126或66。
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