【答案】：
$(1)$ 求$y_{1},y_{2}$关于$x$的函数表达式
- 已知甲水池原有水量$1200m^{3}$，每分钟向甲注水$40m^{3}$，根据“$注水后水量 = 原有水量 + 注水量$”，可得$y_{1}=1200 + 40x$。
因为甲水池最大容量为$3000m^{3}$，令$y_{1}=3000$，即$1200 + 40x=3000$，解得$x = 45$。
- 已知乙水池原有水量$300m^{3}$，每分钟向乙注水$100 - 40 = 60m^{3}$，则$y_{2}=300+(100 - 40)x=300 + 60x$。
因为乙水池最大容量为$3000m^{3}$，令$y_{2}=3000$，即$300 + 60x=3000$，解得$x = 45$。
所以$y_{1}=1200 + 40x(0\leqslant x\leqslant45)$，$y_{2}=300 + 60x(0\leqslant x\leqslant45)$。
$(2)$ 画出$y_{2}$关于$x$的函数图象
- 当每分钟向甲注水$50m^{3}$时，每分钟向乙注水$100 - 50 = 50m^{3}$。
对于甲水池：令$y_{1}=1200 + 50x=3000$，解得$x = 36$。
对于乙水池：令$y_{2}=300 + 50x=3000$，解得$x = 54$。
所以$y_{2}$的函数表达式为$y_{2}=\begin{cases}300 + 50x(0\leqslant x\leqslant36)\\300+50×36+(100 - 50)(x - 36)(36\lt x\leqslant54)\end{cases}$，即$y_{2}=\begin{cases}50x + 300(0\leqslant x\leqslant36)\\50x+300 + 50(x - 36)=100x-1500(36\lt x\leqslant54)\end{cases}$。
根据函数表达式，取关键点$(0,300)$，$(36,2100)$，$(54,3900)$（因为$y_{2}$最大为$3000$，当$x = 54$时，$y_{2}=3000$），画出函数图象（先画$y = 50x + 300(0\leqslant x\leqslant36)$的线段，再画$y = 100x-1500(36\lt x\leqslant54)$的线段，$y_{2}$最大为$3000$）。
$(3)$ 求$a$的值
- 甲水池注满时间$t_{1}=\frac{3000 - 1200}{a}=\frac{1800}{a}$。
- 乙水池注满时间$t_{2}=\frac{3000 - 300}{100 - a}=\frac{2700}{100 - a}$。
已知甲比乙提前$3min$注满，则$\frac{2700}{100 - a}-\frac{1800}{a}=3$。
方程两边同时乘以$a(100 - a)$得：$2700a-1800(100 - a)=3a(100 - a)$。
展开得：$2700a-180000 + 1800a=300a-3a^{2}$。
移项得：$3a^{2}+4200a-180000 = 0$，两边同时除以$3$得：$a^{2}+1400a - 60000 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（这里$x=a$，$b = 1400$，$c=-60000$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(1400)^{2}-4×1×(-60000)=1960000 + 240000=2200000$。
$a=\frac{-1400\pm\sqrt{2200000}}{2}=\frac{-1400\pm100\sqrt{220}}{2}=-700\pm50\sqrt{220}$。
又因为$0\lt a\lt100$，解方程$a^{2}+1400a - 60000 = 0$得$a = 60$或$a=-2000$（舍去$a=-2000$）。
综上，$(1)$$\boldsymbol{y_{1}=1200 + 40x(0\leqslant x\leqslant45)}$，$\boldsymbol{y_{2}=300 + 60x(0\leqslant x\leqslant45)}$；$(3)$$\boldsymbol{a = 60}$。（$(2)$按上述分析画图即可）
【解析】：
(1) 甲水池注满时间：$(3000-1200)÷40=45\ min$，乙水池注满时间：$(3000-300)÷(100-40)=45\ min$
当$0\leq x\leq45$时，$y_{1}=1200+40x$；当$x＞45$时，$y_{1}=3000$
当$0\leq x\leq45$时，$y_{2}=300+60x$；当$x＞45$时，$y_{2}=3000$
(2) 甲水池注满时间：$(3000-1200)÷50=36\ min$，乙水池注满时间：$(3000-300)÷(100-50)=54\ min$
当$0\leq x\leq36$时，$y_{2}=300+50x$；当$36＜ x\leq54$时，$y_{2}=300+50×36+100(x-36)=100x-1500$
函数图象为：当$0\leq x\leq36$时，是过点$(0,300)$和$(36,2100)$的线段；当$36＜ x\leq54$时，是过点$(36,2100)$和$(54,3000)$的线段
(3) 甲注满时间：$\frac{3000-1200}{a}=\frac{1800}{a}$，乙注满时间：$\frac{3000-300}{100-a}=\frac{2700}{100-a}$
由题意得：$\frac{2700}{100-a}-\frac{1800}{a}=3$
整理得：$a^{2}+500a-60000=0$
解得：$a_{1}=60$，$a_{2}=-1000$（舍去）
故$a=60$
