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解:设客车出发后$x$小时两车相遇。
根据题意，轿车先行$54$km后，客车出发，此时两车共同行驶的路程为$270 - 54 = 216$km。轿车速度为$100$km/h，客车速度为$80$km/h，两车相向而行，所以它们的相对速度为$100 + 80 = 180$km/h。根据路程 = 速度×时间，可列方程：$180x = 216，$解得$x = 1.2。$
答：客车出发后$1.2$小时两车相遇。
解: （1）根据题意，得$120(x + 0.5) + 90x = 900，$解得$x = 4。$答：慢车行驶的时间为$4\ \text{h}。$
（2）① 两车相遇前相距$315\ \text{km}，$$120(x + 0.5) + 90x = 900 - 315，$解得$x = 2.5，$此时快车行驶的路程：$120\times(2.5 + 0.5)=360\ \text{km}；$
② 两车相遇后相距$315\ \text{km}，$$120(x + 0.5) + 90x = 900 + 315，$解得$x = 5.5，$此时快车行驶的路程：$120\times(5.5 + 0.5)=720\ \text{km}；$
③ 当快车到达乙地，快车行驶了$7.5\ \text{h}，$慢车行驶了$7\ \text{h}，$$7\times90 = 630＞315，$此种情况不存在。
答：当两车之间的距离为$315\ \text{km}$时，快车所行的路程为$360\ \text{km}$或$720\ \text{km}。$
解：​$(1)$​设第一次购进甲种商品​$x$​件，则购进乙种商品​$(\frac {1}{2}x+15)$​件，
根据题意，得​$22x+30(\frac {1}{2}x+15)=6000$​，解得​$x=150$​，
则​$\frac {1}{2}x+15=75+15=90$​，​$(29-22)×150+(40-30)×90=1950($​元​$).$​
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得​$1950$​元利润​$.$​
​$(2)$​设第二次乙种商品是按原价打​$y$​折销售，
根据题意，得​$(29-22)×150+(40×\frac y{10}-30)×90×3=1950+180$​，解得​$y=8.5.$​
答：第二次乙商品是按原价打​$8.5$​折销售​$.$​
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