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 解:OF平分∠BOC。理由如下：

 因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE。

 因为∠EOF=90°，所以∠BOE+∠BOF=90°。

 又因为∠DOE+∠COF=180°−∠EOF=90°（平角定义），

 且∠BOE=∠DOE，所以∠BOF=∠COF（等角的余角相等）。

 因此，OF平分∠BOC。

$如图,∠AOC=∠2−∠1,∠DOF=∠1+∠2 $

$\frac{m^{\circ}}{2}$

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【答案】：
平分.因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE,因为∠EOF=90°,所以∠BOE+∠BOF=90°,∠DOE+∠COF=180°−∠EOF=90°,因为∠BOE=∠DOE,所以∠BOF=∠COF

【解析】：
OF平分∠BOC。
因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE。
因为∠EOF=90°，所以∠BOE+∠BOF=90°。
因为∠COD是平角，所以∠COF+∠DOE+∠EOF=180°，即∠COF+∠DOE+90°=180°，所以∠COF+∠DOE=90°。
因为∠BOE=∠DOE，所以∠BOF=∠COF，即OF平分∠BOC。

$(1)∠DOE=45°.设∠AOC=α°,$

$则∠AOB=∠AOC+∠BOC=α°+90°,$

$因为OD平分∠AOB,OE平分∠AOC,$

$所以∠DOE =∠AOD−∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB−\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(α°+90°)−\frac{1}{2}α°=\frac{1}{2}×90°=45°；$

$(2)\frac{m°}{2}.$

$(3)①当OC在AM上,即OC在∠BOM之间,$

$设∠AOC=α°,则∠AOB=∠AOC−∠BOC=α°−m°,$

$因为OD平分∠AOB,OE平分∠AOC,$

$所以∠DOE=∠AOD−∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC−\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}α°−\frac{1}{2}(α°−m°)=\frac{m°}{2};$

$②当OC在直线AM下方,且OC在∠MON之间时,$

$∠BOC=∠AOC=m°,∠DOE=∠AOE−∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}∠BOC=180°−\frac{m°}{2};$

$③当OC在直线AM下方,且OC在∠AON之间时,$

$由②得,∠BOC=m°,∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{m°}{2}.$

$综上所述,∠DOE=\frac{m°}{2}或180°−\frac{m°}{2}$