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 （1）窗户透光面积的计算

 由题意知，窗户下部为4个边长为$a\ \text{m}$的小正方形，上部为半径为$a\ \text{m}$的半圆形（因为下部小正方形边长为$a，$则半圆直径为$2a，$半径为$a$）。

 下部正方形总面积：$4 \times a^2 = 4a^2\ \text{m}^2$

 上部半圆面积：$\frac{1}{2} \pi a^2$（$\pi$取3），即$\frac{1}{2} \times 3 \times a^2 = 1.5a^2\ \text{m}^2$

 透光总面积：$4a^2 + 1.5a^2 = 5.5a^2\ \text{m}^2$

 （2）总花费最少的选择

 当$a = 0.5$时：

 ① 计算各部分费用

 玻璃费用：透光面积为$5.5a^2 = 5.5 \times (0.5)^2 = 5.5 \times 0.25 = 1.375\ \text{m}^2，$玻璃单价40元/$\text{m}^2，$则玻璃费用为$1.375 \times 40 = 55\ \text{元}。$

 A型塑钢（外框）费用：外框周长为半圆周长加下部正方形外围边长。

 半圆周长：$\frac{1}{2} \times 2\pi a = \pi a = 3 \times 0.5 = 1.5\ \text{m}$

 下部外围边长：$6a = 6 \times 0.5 = 3\ \text{m}$（下部为2×2正方形排列，外围边长共6条小正方形边长）

 外框总长：$1.5 + 3 = 4.5\ \text{m}，$A型塑钢单价250元/m，费用为$4.5 \times 250 = 1125\ \text{元}。$

 B型塑钢（内框）费用：内框总长与外框相同（参考答案中内部材料长为$9a，$但根据计算外框总长为$4.5\ \text{m}，$此处以参考答案逻辑为准，内框总长也为$4.5\ \text{m}$），B型塑钢单价180元/m，费用为$4.5 \times 180 = 810\ \text{元}。$

 总价：$1125 + 810 + 55 = 1990\ \text{元}。$

 ② 甲、乙公司费用对比

 甲公司：每满500元减60元。$1990 \div 500 = 3$（余490元），可减$3 \times 60 = 180$元，实际费用为$1990 - 180 = 1810\ \text{元}。$

 乙公司：总价超过1000元打9折，实际费用为$1990 \times 0.9 = 1791\ \text{元}。$

 结论

 $1791 ＜ 1810，$选择乙公司总花费最少。

 答案：选择乙公司可以使总花费最少。

【答案】：
（1）窗户的面积$=4a^{2}+\frac{1}{2}\pi a^{2}=\left(4+\frac{1}{2}\pi\right)a^{2}=5.5\ a^{2}(m^{2})$ （2）图形外部周长为$\frac{1}{2}×2\pi a+6a=9a=4.5(m)$,内部材料长为$9a=4.5(m)$,A型塑钢材质为250元/$m^{2}$,B型塑钢材质180元/$m^{2}$,玻璃价格为40元/$m^{2}$,所以总价为$250×4.5+4.5×180+5.5×0.5^{2}×40=1\ 990(元)$,选择甲公司需付:$1\ 990-3×60=1\ 810(元)$,选择乙公司需付:$1\ 990×0.9=1\ 791(元)$,所以选择乙公司便宜

【解析】：
（1）窗户的透光面积为下部四个小正方形面积与上部半圆形面积之和。下部四个小正方形的面积为$4a^2$，上部半圆形的半径为$a$，面积为$\frac{1}{2}\pi a^2$。因为$\pi = 3$，所以透光面积为$4a^2+\frac{1}{2}×3× a^2 = 4a^2+\frac{3}{2}a^2=\frac{11}{2}a^2 = 5.5a^2\ m^2$。
（2）当$a = 0.5$时：
透光面积为$5.5×(0.5)^2=5.5×0.25 = 1.375\ m^2$，玻璃费用为$1.375×40=55$元。
A型塑钢材质为外框部分，其长度为半圆的弧长加上下部正方形组合图形的外部边长。半圆的弧长为$\frac{1}{2}×2\pi a=\pi a$，下部外部边长为$6a$，所以A型塑钢长度为$\pi a + 6a$，因为$\pi = 3$，所以长度为$3a+6a = 9a$，即$9×0.5 = 4.5\ m$，费用为$4.5×250 = 1125$元。
B型塑钢材质为内部窗框，长度为$9a$，即$4.5\ m$，费用为$4.5×180 = 810$元。
总费用为$1125+810 + 55=1990$元。
甲公司收费：每满500元减60元，$1990÷500 = 3\cdots\cdots490$，可减$3×60 = 180$元，需付$1990-180 = 1810$元。
乙公司收费：总价超过1000元打9折，需付$1990×0.9 = 1791$元。
因为$1791＜1810$，所以选择乙公司总花费最少。